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2x⁴−4x²+2=t에서 좌변을 g(x), 우변을 수평선 y=t로. f(t)=g(x)=t의 서로 다른 실근 개수=곡선과 y=t의 교점 개수. t를 위아래로 밀면서 교점 수가 어떻게 바뀌는지 ‘구간별로’ 세는 게 전부다.
◀ 상수든 문자든 우변에 있으면 움직이는 수평선이다
g(x)=2x⁴−4x²+2는 x의 짝수차뿐이라 y축 대칭 W자. g'(x)=8x(x+1)(x−1)로 극소 x=±1(값 0), 극대 x=0(값 2). 봉우리·골짜기 높이 0과 2가 바로 교점 수가 바뀌는 문턱값이다.
◀ 극댓값·극솟값이 근 개수가 점프하는 지점이다
t를 밀면 교점 수는 t<0:0 → t=0:2 → 0<t<2:4 → t=2:3 → t>2:2로 계단처럼 뚝뚝 끊긴다. f(t)가 끊기는(불연속) t=0, t=2에서 미분 불가. ‘미분가능하지 않은 점’은 그래프가 끊기거나 꺾이는 점을 찾으라는 뜻. 답은 0+2=2.
◀ 미분불가 조건은 f(t) 그래프의 꺾임·끊김으로 번역하라
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 문자 t가 낀 방정식도 곡선 g(x)와 수평선 y=t의 교점 문제. 실근 개수 f(t)를 t 구간별로 세어 계단함수 그래프를 그리는 게 뼈대다. ‘미분가능하지 않은 점’은 결국 f(t)가 끊기거나 꺾이는 t를 찾으라는 신호다.
실수 포인트 ① : 극솟값 0이 두 곳(x=±1)에서 동시에 생기는 걸 놓쳐 t=0에서 근을 4개로 세는 실수. y=0은 두 골짜기 바닥에 동시에 접해 근이 2개다.
실수 포인트 ② : t=2(극대)에서 근을 4개나 2개로 세는 실수. 꼭대기에 직선이 닿으면 그 점 1개 + 양옆 2개 = 3개다.
실수 포인트 ③ : ‘미분불가’를 너무 좁게(불연속만) 보거나 매끄러운 곳까지 포함하는 실수. 계단함수는 값이 튀는 t=0, t=2에서만 미분 불가. 합 0+2=2가 정답.
정답 : 2