문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
방정식에 상수 k가 하나 섞여 있으면 무조건 k만 우변으로 몰아라. 3x⁴−4x³−12x²=−k가 되고, 원래 방정식의 실근 개수 = 곡선 y=3x⁴−4x³−12x²와 수평선 y=−k의 교점 개수다. 계수 붙은 복잡한 부분은 좌변에 고정, 움직이는 건 오직 직선 y=−k뿐. 근의 개수 문제는 ‘고정 곡선 + 위아래로 움직이는 수평선’으로 바꾸는 게 1번 스킬이다.
◀ 상수만 분리하면 곡선은 딱 한 번만 그리면 된다
f'(x)=12x(x+1)(x−2)라 극점이 x=−1, 0, 2 세 개. 극솟값 f(−1)=−5, 극댓값 f(0)=0, 극솟값 f(2)=−32. W자에서 극솟값이 두 개(−5, −32)이고 높이가 다르다는 게 핵심. 서로 다른 4실근은 수평선 y=−k가 ‘더 높은 극솟값(−5)’과 ‘극댓값(0)’ 사이를 지날 때만 생긴다. 낮은 극솟값 −32 쪽은 이때 자동으로 아래에서 2번 잘린다.
◀ 두 극솟값 중 ‘높은 쪽’이 4실근의 하한선이다
4교점 조건 −5<−k<0에서 −k를 k로 바꾸려면 각 변에 −1을 곱하고 부등호 방향을 뒤집는다 → 0<k<5. 양끝은 등호가 없으니 k=0, k=5는 제외. 자연수는 k=1, 2, 3, 4로 4개. −k 형태를 그대로 두고 세다가는 부호와 방향에서 반드시 사고가 난다. 마지막엔 늘 k 기준으로 깔끔히 정리하고 세라.
◀ 등호 없는 0<k<5의 자연수는 1, 2, 3, 4 (4개)
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 상수 k가 섞인 방정식의 실근 개수는 상수분리가 정석이다. 3x⁴−4x³−12x²=−k로 만들어 곡선과 수평선 y=−k의 교점 문제로 바꾸면, 증감표로 그린 쌍봉(W자) 그래프에서 수평선을 위아래로 움직이며 교점을 세는 그림 한 장으로 끝난다. 서로 다른 4실근은 수평선이 더 높은 극솟값 −5와 극댓값 0 사이를 지날 때다.
실수 포인트 ① : 상수분리할 때 부호를 놓쳐 직선을 y=k로 두는 실수. k를 좌변에서 우변으로 넘기면 부호가 바뀌어 y=−k가 된다.
실수 포인트 ② : 두 극솟값을 하나로 착각하는 실수. −5와 −32는 서로 다른 높이이고, 4실근의 하한을 정하는 건 더 높은 −5다.
실수 포인트 ③ : −5<−k<0을 k로 바꿀 때 부등호 방향을 안 뒤집는 실수. −1을 곱하면 방향이 뒤집혀 0<k<5가 맞다.
실수 포인트 ④ : 등호 처리 실수. 0<k<5는 양끝을 포함하지 않으므로 자연수는 1, 2, 3, 4로 (5−0)−1=4개다.
정답 : 4