문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
−3x⁴−4x³+12x²−24=k는 좌변을 곡선 y=f(x), 우변을 수평선 y=k로 본다. 손댈 것 없이 곡선만 정확히 그리고 직선 y=k를 위아래로 밀며 교점을 세면 끝. 상수 분리가 이미 끝나 있는 유형이다.
◀ 형태를 보고 ‘분리 필요 여부’부터 판단하라
최고차항 −3x⁴, 계수가 음수라 x→±∞에서 그래프는 둘 다 아래로 곤두박질. 즉 위로 볼록한 봉우리형(극대 2·극소 1)이다. f'(x)=−12x(x+2)(x−1)로 극점 x=−2,0,1을 찍으면 (−2, 8)극대, (0, −24)극소, (1, −19)극대. 두 봉우리 높이가 8과 −19다.
◀ 사차함수는 최고차 부호로 개형의 뼈대부터 잡는다
양끝이 −∞로 내려가는 그래프에서 수평선이 딱 1번 만나려면, 가장 높은 봉우리(8)보다 위(k>8)면 0개, 정확히 그 꼭대기 높이 k=8이면 한 점에서만 접하며 만난다. 오른쪽 봉우리는 −19라 훨씬 낮아 무관. 그래서 k=8.
◀ 낮은 봉우리에 맞추면 큰 봉우리를 뚫어 교점이 늘어난다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 우변이 이미 k라 곡선 y=f(x)와 수평선 y=k의 교점 문제로 즉시 환원된다. 사차함수는 최고차 계수 부호로 양끝 방향부터 잡고(음수→양끝 아래), 극값 3개를 좌표로 찍어 봉우리 2·골짜기 1 개형을 완성한다.
실수 포인트 ① : 최고차 계수가 음수인데 양끝을 위로 그리는 실수. −3x⁴는 x→±∞에서 −∞다. 봉우리형임을 먼저 확정하라.
실수 포인트 ② : ‘오직 1개 실근’을 아무 극값에나 접하면 된다고 착각하는 실수. 양끝이 아래로 가는 그래프에선 가장 높은 봉우리(8) 꼭대기에 닿을 때만 교점이 딱 1개다.
실수 포인트 ③ : f(0)=−24, f(1)=−19 같은 극값 계산에서 상수항 −24를 빠뜨리는 부호·대입 실수.
정답 : ⑤ (k=8)