문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
2x³−6x²+k=0에서 k만 우변으로 몰아라. 2x³−6x²=−k가 되면 왼쪽은 고정된 곡선 y=2x³−6x², 오른쪽은 위아래로 움직이는 수평선 y=−k. 실근 개수=교점 개수다. 상수가 낀 방정식은 그 상수만 떼서 ‘움직이는 직선’으로 만드는 게 1번 스킬이다.
◀ 곡선은 한 번만 그리고, 직선만 밀면서 교점을 센다
근의 부호=교점의 x좌표 부호. y=2x²(x−3)은 원점에서 극대(값 0), x=2에서 극소(−8), x=3에서 x축을 다시 뚫는다. 양수 근 2개는 x>0 영역에서 교점 2개라는 뜻이라, 직선을 극소값 −8과 원점 높이 0 ‘사이’에 끼워야 한다.
◀ 부호 조건은 그래프의 좌우 위치로 번역하라
−8<−k<0이면 교점이 3개(음수근 1 + 양수근 2). 부등식을 k로 풀면 음수 곱으로 부호가 뒤집혀 0<k<8. ‘정수 k 개수’는 열린구간이라 양끝 0,8을 빼고 1~7 → 7개다.
◀ 열린구간이면 양끝 제외, 안 챙기면 9개로 틀린다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 상수 k가 낀 방정식은 그 상수만 우변으로 몰아 ‘고정된 곡선 vs 움직이는 직선’의 교점 문제로 바꾸는 게 정석이다. y=2x³−6x²는 한 번만 그려두고 y=−k만 밀면서 교점을 세면 된다.
실수 포인트 ① : ‘양의 실근 2개’를 그냥 ‘실근 2개’로 착각하는 실수. 부호 조건이 붙으면 반드시 교점의 x좌표가 양수인지까지 확인해야 한다. 이 곡선은 음수근 1개가 딸려 온다는 걸 놓치면 안 된다.
실수 포인트 ② : −8<−k<0을 k로 바꿀 때 부호 뒤집기를 잊는 실수. 음수를 곱하면 부등호 방향이 바뀌어 0<k<8이 된다.
실수 포인트 ③ : 정수 개수를 셀 때 열린구간 양끝(0, 8)을 포함해 9개로 세는 실수. 1부터 7까지 7개가 정답이다.
정답 : 7