문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
x³−12x+5=k를 y=x³−12x+5와 y=k로 분리. 서로 다른 실근 3개는 수평선이 극대·극소 사이를 지날 때. f′=3x²−12=3(x+2)(x−2)라 극대 f(−2)=21, 극소 f(2)=−11 → −11<k<21.
◀ 실근 개수 문제는 곡선 vs 수평선 교점으로 번역
이항하면 x³−12x+(5−k)=0. x²항 계수가 0이니 α+β+γ=0, 곱 αβγ=k−5(근과 계수의 관계). 합이 0인데 곱>0이면 셋 다 양수는 불가능(합이 양수가 됨). 곧 두 음수·한 양수 → αβγ>0 ≡ k−5>0 ≡ k>5.
◀ 세 근의 곱은 그래프 안 그리고 상수항으로 바로 나온다
−11<k<21과 k>5를 합치면 5<k<21. 정수 k는 6, 7, …, 20. 최솟값 m=6, 최댓값 M=20 → M−m=14. k=5는 근 하나가 0이라 곱=0(탈락), k=21은 중근이라 실근 2개(탈락).
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 실근 개수는 곡선 y=x³−12x+5과 직선 y=k의 교점으로 바꾼다(3개 → −11<k<21). 여기에 αβγ>0 조건은 근과 계수의 관계로 처리하는 게 정석이다. x²항이 없어 세 근의 합이 0이고, 합 0 + 곱 양수라는 두 사실을 합치면 부호는 음·음·양으로 확정되며, 결국 αβγ=k−5>0, 즉 k>5로 깔끔히 정리된다. 그래프에서는 곡선이 (0, 5)를 지나므로 '직선 y=k가 이 점보다 위'라는 뜻으로도 읽을 수 있다.
실수 포인트 ① : αβγ>0을 '세 근 모두 양수'로 해석하는 실수. 합이 0이므로 모두 양수는 불가능하고 반드시 두 음수·한 양수다.
실수 포인트 ② : 곱 αβγ의 부호를 상수항으로 옮길 때 부호를 놓치는 실수. x³+0·x²−12x+(5−k)=0에서 αβγ=−(5−k)=k−5다.
실수 포인트 ③ : 부등식 끝값 처리 실수. k=5(근 하나가 0), k=21(중근으로 실근 2개)은 모두 제외. 정수는 6~20, m=6, M=20이라 M−m=14.
정답 : M − m = 14