문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f′(x)가 x=−1에서 x축에 접한다는 건 그 근이 중근이라 f′의 부호가 안 바뀐다는 뜻(−에서 −로 유지). 도함수가 x축을 뚫고 지나가야 극값이 생기고, 그냥 스치기만(접) 하면 극값이 아니다. 그래서 x=−1은 가짜 극점.
◀ 도함수의 접점 = 부호 불변 = 극값 없음
f′=0인 후보는 x=−1, x=3. 이 중 부호가 실제로 바뀌는 건 x=3(−→+)뿐이라 x=3만 극소이자 최소. x=−1은 f′=0이지만 극값이 아니다. → ㄱ은 거짓, ㄴ은 '최솟값 f(3)이 존재'하므로 참.
◀ f′=0 개수 ≠ 극값 개수, 부호 변화만이 진짜
f는 계속 감소하다 x=3에서 최소를 찍고 증가한다. f(−1)과 같은 높이는 증가 구간에서 다시 만나므로 a는 반드시 최소점 오른쪽, 즉 a>3 → −a<−3. 구간 x>−a는 x=3을 포함하니 그 안에서 최솟값 f(3)을 가진다. ㄵ 참.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 주어진 건 f가 아니라 f′의 그래프다. 극값 판정의 핵심은 'f′=0'이 아니라 f′의 부호 변화. x=−1은 접점(부호 불변)이라 극값이 아니고, x=3만 −→+로 바뀌어 극소이자 전체 최소가 된다. 이 한 장의 증감 흐름(감소→최소→증가)만 잡으면 ㄱㄴㄵ이 순식간에 갈린다.
실수 포인트 ① : ㄱ에서 f′(−1)=0이니 극댓값이라고 답하는 실수. 접점이라 부호가 안 바뀌므로 극값이 아니다. [거짓]
실수 포인트 ② : ㄴ에서 f(3)이 극소일 뿐 최소는 아닐 거라 의심하는 실수. 감소 후 증가하는 단 하나의 골이므로 극소=전체 최소, f(x)≥f(3)은 참.
실수 포인트 ③ : ㄵ에서 a의 위치를 왼쪽으로 잡는 실수. 같은 높이는 증가 구간에서 다시 만나 a>3이고, x>−a 구간이 최소점 x=3을 품어 최솟값을 가진다. [참] 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄵ.
정답 : ⑤ (ㄴ, ㄵ)