문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
삼차함수가 기함수면 x²항과 상수항이 없다(원점 대칭). 최고차 1이니 f(x)=x³−ax로 확정. 미지수가 a 하나뿐이라 조건 하나만 더 있으면 끝난다.
◀ 기함수 삼차는 x³−ax, 원점 대칭이 뼈대
y=|f(x)|는 f의 음수 부분을 위로 접은 그래프. 여기에 y=2가 4점에서 만나려면 접힌 봉우리 높이가 딱 2여야 한다. 즉 원래 f의 극댓값 2, 극솟값 −2(기함수라 대칭). 실근 개수를 극값 조건으로 번역하는 게 핵심.
◀ |f|=k 실근 개수는 극값의 높이가 결정한다
f'(x)=3x²−a=0 → x=±√(a/3). 극댓값 f(−√(a/3))=(2a/3)√(a/3)=2 → 4a³/27=4 → a³=27 → a=3. f(x)=x³−3x, f(3)=27−9=18. 극점 좌표를 대입해 극값=2로 놓는 한 방정식이 전부다.
◀ 극값 = 2라는 한 줄이 미지수를 잡는 열쇠
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 기함수를 ‘짝수차항 0’으로 번역해 f=x³−ax. |f(x)|=2 실근 4개라는 조건은 접은 그래프에서 극값의 절댓값이 2여야 한다는 뜻 → 극댓값 2. 이 한 방정식으로 a=3, f(3)=18.
실수 포인트 ① : 기함수인데 x²항이나 상수항을 남기는 실수. 원점 대칭이면 짝수차항은 전부 0.
실수 포인트 ② : 실근 4개를 f(x)=2가 아닌 |f(x)|=2로 정확히 읽지 못하는 실수. 음수부를 위로 접은 절댓값 그래프를 반드시 그려라.
실수 포인트 ③ : 극댓값 (2a/3)√(a/3)에서 지수·제곱근을 처리하다 a=3을 놓치는 실수. 양변 제곱해 4a³/27=4로 정리하면 깔끔하다.
정답 : ⑤ 18