문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
홀수차항(x³, x)은 −x를 넣으면 부호가 뒤집혀 f(−x)=f(x)를 깨므로 계수가 0이다. f(−x)=f(x)라는 문장을 보면 조건반사로 f(x)=x⁴+ax²+b를 써놓고 시작하라. 최고차항 계수 1은 이미 반영됐다.
◀ 우함수 사차함수 = x⁴+ax²+b, 미지수는 a·b 둘뿐
x=2에서 극솟값 −6이면 대칭성 때문에 x=−2에서도 똑같이 극솟값 −6, 가운데 x=0은 극댓값이다. f(2)=−6, f′(2)=0 두 식이면 a, b가 바로 나온다. f(x)=x⁴+ax²+b, f′(x)=4x³+2ax에 대입해 a=−8, b=10 → f(x)=x⁴−8x²+10.
◀ 극점 좌표를 그림으로 먼저 찍고 식을 세워라
f<0인 부분을 x축 위로 접어올린 y=|f(x)|를 그리고 y=6을 그어라. 극솟값 −6이 접히면 딱 +6이 되어 y=6과 접점(중근)이 되고, 위쪽 극댓값 10 근처에서는 좌우로 뚫고 지나간다. f=6에서 4개 + f=−6(접점 x=±2)에서 2개 = 총 6개.
◀ 접힌 극값이 직선과 닿으면 그 점은 1개(중근)로 센다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 조건 f(−x)=f(x)를 보는 순간 우함수→홀수차항 소거를 떠올려 f(x)=x⁴+ax²+b로 미지수를 2개로 줄이는 것이 시작이다. 이후 x=2 극솟값 정보(f(2)=−6, f′(2)=0)로 a, b를 확정하고, |f(x)|=6은 그래프를 접어 직선 y=6과의 교점으로 센다.
실수 포인트 ① : 우함수인데 x³, x 항을 살려두는 실수. 홀수차항은 반드시 0이다.
실수 포인트 ② : |f(x)|=6에서 극솟값이 −6인 점(x=±2)이 접점(중근)이라 1개씩만 세야 하는데, 좌우 2개로 착각하거나 아예 빠뜨리는 실수. 접으면 −6→+6으로 y=6에 딱 닿는다.
실수 포인트 ③ : f=6과 f=−6을 따로 세지 않고 대충 그려 4개나 5개로 답하는 실수. f=6(4개)+f=−6(2개)=6을 나눠서 계산하라.
정답 : ⑤ (6)