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사차함수가 우함수면 x³항·x항이 살아있을 수 없다(홀수차항은 부호가 뒤집혀 대칭이 깨짐). 그래서 f(x)=x⁴+ax²+b로 바로 확정. 미지수가 a, b 둘로 줄어드는 게 최대 이득이다.
◀ 우함수는 짝수차항만, 기함수는 홀수차항만 남긴다
우함수는 y축 대칭이라 x=0이 항상 극점이다. a<0이면 x=0이 극대, 좌우 x=±√(−a/2)가 극소인 W자 그래프. 극댓값 7 = f(0) = b → b=7이 한 줄에 나온다.
◀ 우함수 그래프에서 꼭대기/바닥은 x=0에 있다
f(1)=1+a+b=2, b=7이니 a=−6. f(x)=x⁴−6x²+7. 극소점 x=±√3에서 f(√3)=9−18+7=−2. 조건은 극댓값→f(1)→극솟값 순으로 소비한다.
◀ 조건은 극댓값 → f(1) → 극솟값 순으로 쓴다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 우함수 조건을 ‘홀수차항 0’으로 번역해 f=x⁴+ax²+b로 시작. y축 대칭이라 극댓값은 x=0에서 나오므로 b=7. 남은 f(1)=2로 a=−6 결정 후 극소점 x=±√3 대입해 −2.
실수 포인트 ① : 우함수인데 x³·x항을 남겨두고 미지수 4개로 시작하는 실수. 홀수차항은 즉시 0.
실수 포인트 ② : 극댓값이 x=0이 아닌 곳에 있다고 착각하는 실수. y축 대칭이면 극대·극소 중 하나는 반드시 x=0이다.
실수 포인트 ③ : 극솟값을 구할 x=±√3 대입에서 부호나 계산을 놓치는 실수. 9−18+7=−2를 침착하게.
정답 : ⑤ −2