문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(x)=3x⁴−8x³+2ax²+1은 최고차 계수 양수라 기본이 U자다. 극댓값(가운데 봉우리)이 생기려면 그래프가 W자여야 하고, 이는 f'(x)=0이 서로 다른 세 실근일 때다. f'(x)=12x³−24x²+4ax=4x(3x²−6x+a)이므로 x=0은 항상 근, 나머지 3x²−6x+a=0이 x≠0인 서로 다른 두 실근이면 된다.
◀ 최고차 양수 사차함수의 극댓값 유무는 곧 f'(x)=0의 실근 개수 문제다
극댓값 없을 조건을 바로 나열하면 경우가 갈려 헷갈린다. 대치동 정석은 극댓값 갖는 조건을 먼저 구한 뒤 그 여집합(부정)을 취하는 것. 극댓값 갖는 조건이 ‘a<0 또는 0<a<3’이면, 부정은 a=0 또는 a≥3으로 깔끔하게 떨어진다.
◀ ‘~하지 않을 조건’은 ‘~할 조건’을 구해 뒤집는 게 실수 없는 지름길
3x²−6x+a=0에 x=0을 대입하면 a=0. 즉 a=0이면 이차식이 x=0을 근으로 공유해 f'(x)=0이 세 실근이 안 된다(중근 발생). 그래서 ‘극댓값 가질 조건’에 a≠0이 붙고, 부정할 때 a=0이 ‘극댓값 없는’ 쪽으로 살아난다. 판별식 D/4=9−3a>0 → a<3까지 합쳐 a<0 또는 0<a<3.
◀ x≠0 조건을 놓치면 답에서 a=0이 통째로 사라진다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 최고차 계수가 양수인 사차함수는 극댓값이 생기려면 그래프가 W자, 곧 f'(x)=0이 서로 다른 세 실근이어야 한다. f'(x)=4x(3x²−6x+a)에서 x=0은 항상 근이므로 이차식 3x²−6x+a=0이 x=0이 아닌 서로 다른 두 실근을 가질 조건을 세우고, 그 조건을 부정하면 ‘극댓값 갖지 않을 조건’이 된다.
실수 포인트 ① : ‘극댓값 없을 조건’을 직접 세우려다 경우를 빠뜨리는 실수. 반드시 극댓값 가질 조건을 구한 뒤 여집합을 취하라.
실수 포인트 ② : a=0을 무심코 버리는 실수. a=0이면 이차식이 x=0을 근으로 가져 세 실근이 깨지므로 극댓값이 없다. 그래서 a≠0(→부정하면 a=0 포함)을 꼭 챙겨야 한다.
실수 포인트 ③ : 판별식 부등호 방향 실수. D/4=9−3a>0 → a<3, 이를 부정하면 a≥3(등호 포함)이다. 최종 답은 a=0 또는 a≥3.
정답 : ② (a=0 또는 a≥3)