문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f'(x)=x³+(a+1)x²−a에 x=−1을 대입하면 −1+(a+1)−a=0. 즉 x=−1은 a와 무관하게 항상 근이다. 조립제법으로 f'(x)=(x+1)(x²+ax−a). α<0이므로 세 극값 중 α=−1로 고정되고, 남은 두 근 β·γ는 이차식 x²+ax−a=0이 담당한다.
◀ 삼차식 인수분해가 막히면 x=±1을 먼저 대입해 근 하나를 찾아라
최고차 양수 사차함수는 W자라 양쪽이 극소, 가운데가 극대. α=−1(극소) 확정이므로 β(극대)·γ(극소)는 x²+ax−a=0의 두 근이고, 조건 α<0<β<γ<3에서 이 두 근이 모두 0과 3 사이여야 한다. 문제가 ‘이차방정식 두 근의 위치‘ 문제로 환원된다.
◀ 극값 위치 문제의 90%는 결국 이차식 근분리로 바뀐다
g(x)=x²+ax−a의 두 근이 0<β<γ<3에 있으려면 세 가지를 모두 만족: ①판별식 D=a²+4a>0(서로 다른 두 실근), ②대칭축 0<−a/2<3, ③끝값 g(0)=−a>0, g(3)=9+2a>0. 각각 a<−4 또는 a>0 / −6<a<0 / a<0, a>−9/2. 교집합이 −9/2<a<−4.
◀ 판별식·대칭축·양끝부호, 이 세 자물쇠를 모두 풀어야 근이 구간에 갇힌다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 극값이 세 개면 f'(x)=0(삼차방정식)이 서로 다른 세 실근이다. f'(x)=x³+(a+1)x²−a는 x=−1을 항상 근으로 가지므로 (x+1)(x²+ax−a)로 쪼개지고, α<0에서 α=−1 확정. 남은 이차식의 두 근 β·γ가 (0, 3)에 오도록 하는 근분리(근의 위치) 3조건을 세운다.
실수 포인트 ① : 조립제법의 첫 근 x=−1을 못 찾아 헤매는 실수. f'(−1)=0 확인이 출발점이다.
실수 포인트 ② : 극대·극소 배치를 뒤집는 실수. 최고차 양수 W자는 가운데가 극대(β), 양쪽이 극소(α, γ)다.
실수 포인트 ③ : 근분리 세 조건 중 하나(특히 양끝 함숫값 부호 g(0)>0, g(3)>0)를 빠뜨리는 실수. 조건이 강부등호(0<β<γ<3)이므로 등호 없이 세운다.
실수 포인트 ④ : 세 부등식 교집합 계산 실수. 수직선에 a<−4, −6<a<0, a>−9/2를 모두 그려 겹치는 구간만 남기면 −9/2<a<−4.
정답 : ① (−9/2 < a < −4)