문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f'(x)=3x²−2ax−100은 아래로 볼록한 이차함수다. 두 극점(f'=0인 두 x값) 사이에서 f'(x)는 음수. 직선 x=a가 극대점과 극소점 ‘사이’를 지난다는 건 x=a가 그 두 근 사이에 있다는 뜻 → f'(a)<0. ‘사이’라는 위치 조건을 부등식 하나로 바꾸는 게 핵심이다.
◀ 아래로 볼록 이차함수는 두 근 사이에서 음수다
f'(a)=3a²−2a·a−100=3a²−2a²−100=a²−100. 변수와 상수가 같은 문자 a라서 대입하면 동류항이 합쳐진다. 복잡하던 3x²−2ax−100이 f'(a)에서는 a²−100이라는 단순한 꼴로 붕괴한다. 대입을 겁내지 마라.
◀ x 자리에 a를 넣으면 3a²−2a²=a²로 합쳐진다
a²−100<0 → (a−10)(a+10)<0 → −10<a<10. 양 끝 ±10은 등호가 없어 제외. 정수는 −9부터 9까지 → 9−(−9)+1=19개. 개수 세기에서 양 끝 포함 여부와 0을 빼먹지 않는 게 승부처다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : f(x)=x³−ax²−100x+10의 도함수 f'(x)=3x²−2ax−100은 아래로 볼록한 포물선이고, f'(x)=0의 두 근이 각각 극대·극소의 x좌표다. 직선 x=a가 그 두 극점 ‘사이’를 지난다는 건 x=a가 두 근 사이에 있다는 것이고, 아래로 볼록한 이차함수는 두 근 사이에서 음수이므로 조건은 f'(a)<0 하나다.
실수 포인트 ① : ‘극대·극소 사이’를 함숫값 f(a)의 대소로 착각하는 실수. 위치가 두 극점 사이라는 건 도함수의 부호 조건 f'(a)<0으로 번역된다.
실수 포인트 ② : f'(a)=3a²−2ax−100에서 x=a 대입을 놓쳐 정리하지 못하는 실수. 3a²−2a²=a²이므로 f'(a)=a²−100이 된다.
실수 포인트 ③ : −10<a<10에서 정수 개수를 셀 때 양 끝 ±10을 포함하거나 0을 빠뜨리는 실수. −9~9의 정수는 19개다.
정답 : ② (19개)