문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
문제는 f'(x)가 아니라 f'(x)−a의 그래프를 준다. 최고차항 계수 1인 이차함수가 x=−1, 3에서 x축과 만나므로 f'(x)−a=(x+1)(x−3). 여기에 a를 되돌려 더하면 f'(x)=x²−2x−3+a. ‘a를 뺀 그래프’라는 말에 속지 말고 절편을 인수로 바로 세워라.
◀ 그래프의 정체는 f'가 아니라 f'−a임을 놓치지 마라
삼차함수가 극대와 극소를 모두 가지려면 도함수 f'(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다(D>0). 0761과 정반대 부등호다. x²−2x−3+a=0에서 D/4=(−1)²−(−3+a)=4−a>0 → a<4.
◀ ‘극값 둘 다 있다’는 D>0 — 등호가 없다
a<4는 4를 포함하지 않는 열린 조건이다. 4보다 작은 정수 중 가장 큰 값은 3. a=4면 f'(x)=0이 중근이 되어 극값이 사라지므로 반드시 제외해야 한다. ‘<‘와 ‘≤’를 구분하는 순간이 곧 정답이 갈리는 지점이다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 주어진 건 f'(x)가 아니라 f'(x)−a의 그래프라는 게 함정이다. 최고차항 계수가 1이고 x=−1, 3을 지나므로 f'(x)−a=(x+1)(x−3), 여기에 a를 더해 f'(x)=x²−2x−3+a를 얻는다. 삼차함수가 극대·극소를 모두 가질 조건은 f'(x)=0이 서로 다른 두 실근, 즉 D>0. 이 부등식을 a에 대해 풀면 끝난다.
실수 포인트 ① : 준 그래프를 f'(x) 자체로 오해해 f'(x)=(x+1)(x−3)으로 두는 실수. 그래프는 f'(x)−a이므로 a를 되돌려 더해야 한다.
실수 포인트 ② : 극값 조건을 D≥0으로 잡아 a≤4, 최댓값 4로 답하는 실수. 극대와 극소가 ‘둘 다’ 있으려면 두 근이 달라야 하므로 D>0, a<4다.
실수 포인트 ③ : a<4에서 정수 최댓값을 4라 답하는 실수. 열린 부등식이라 4는 제외, 답은 3이다.
정답 : 3