문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy+2에 x=0, y=0을 넣으면 f(0)=f(0)+f(0)+0+2 → f(0)=2f(0)+2 → f(0)=−2. 관계식에서 0 대입은 언제나 첫 삽. 이 f(0)=−2가 나중에 f'(0) 정의를 완성하는 결정적 조각이 된다.
◀ 0 대입 한 번으로 초기값 f(0)이 확보된다
분모(x−2)→0인데 극한이 5로 유한 → 분자 f(x)→0 → f(2)=0. 그러면 f(x)/(x−2)=[f(x)−f(2)]/(x−2)가 되어 이 극한 자체가 f'(2)=5. 한 줄짜리 조건이 f(2)와 f'(2)를 동시에 알려준다.
◀ 유한극한 조건 = 함숫값 0 + 미분계수, 1석 2조
f'(2)=lim[f(2+h)−f(2)]/h에 f(2+h)=f(2)+f(h)+8h+2를 넣으면 [f(h)+8h+2]/h. f(0)=−2이니 f(h)+2=f(h)−f(0), 8h/h=8은 따로 분리. 즉 f'(2)=f'(0)+8. 5=f'(0)+8 → f'(0)=−3. (8은 4xy에 x=2,y=h 넣은 8h에서 온다)
◀ f'(2)와 f'(0)을 관계식으로 연결해 역산한다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : (가) 관계식과 (나) 분수극한을 미분계수의 정의라는 하나의 언어로 묶는 문제다. (나)로 f(2)=0, f'(2)=5를 얻고, (가)를 f'(2) 정의에 대입해 f'(2)=f'(0)+8이라는 다리를 놓은 뒤 f'(0)을 역산한다. f(0)=−2는 이 다리를 완성하는 못이다.
실수 포인트 ① : (나)에서 f(2)=0을 그냥 지나치는 실수. 분모→0 & 극한 유한이면 분자→0(f(2)=0)이 강제되고, 그래야 [f(x)−f(2)]/(x−2)=f'(2)로 읽을 수 있다.
실수 포인트 ② : f(2+h) 전개에서 4xy 항 처리. x=2, y=h이므로 4xy=8h, 전개하면 f(2+h)=f(2)+f(h)+8h+2다. 이 8h가 마지막에 상수 8로 살아남는다.
실수 포인트 ③ : f(h)+2를 f(h)−f(0)로 못 바꾸는 실수. f(0)=−2라서 +2=−f(0)이다. 그래야 [f(h)−f(0)]/h=f'(0)이 되고, f'(2)=f'(0)+8=5에서 f'(0)=−3이 나온다.
정답 : ② (−3)