문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
limx→0− f(g(x))는 안쪽 g(x)=t로 치환. x가 0으로 왼쪽에서 오면 g는 직선(g(x)=x)을 타고 음수쪽에서 0으로 → t→0⁻. 이 부호를 밖 함수로 그대로 넘겨 f(0⁻)=1. 안쪽 극한값만 넘기면 반쪽이다.
◀ 안쪽 극한값만 넘기면 반쪽, 부호(±)까지 넘겨야 완성
limx→1− g(f(x))에서 f(x)=s. x→1⁻일 때 f는 하강직선 −x를 타고 −1로 오는데, x<1이라 −x는 −1보다 큰 값 → s→−1⁺. 왼쪽(−)으로 넣었다고 결과도 왼쪽일 거란 생각이 함정. 이어서 g(−1⁺)=−1.
◀ 좌(−)로 넣었다고 결과도 좌(−)일 거란 착각이 최대 함정
g는 x=−1,0,1에서, f는 x=0,1에서 끊긴다. 미리 f(0⁻)=1, f(1⁻)=−1⁺, f(−1⁻)=0⁻, g(−1⁺)=−1을 적어두면 세 합성극한이 곧바로 계산된다. f(f(x))는 안쪽 f(−1⁻)=0⁻ → 바깥 f(0⁻)=1, 두 단계로 분리.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 합성함수 극한 f(g(x))는 t=g(x)로 치환해 lim f(t)로 바꾸되, x의 접근방향이 t의 접근방향(t→0⁻처럼 부호 포함)으로 어떻게 번역되는지가 전부다. 안쪽 그래프에서 ‘값+방향’을 함께 읽어라.
실수 포인트 ① : 안쪽 극한값(0, −1, 0)만 구하고 부호를 빼먹어 f(0), g(−1), f(0) 같은 함숫값을 대입하는 실수. f(0)=0인데 f(0⁻)=1이라 결과가 완전히 달라진다.
실수 포인트 ② : 감소함수 치환에서 방향 뒤집힘을 놓치는 실수. f(x)=−x는 감소라 x→1⁻이 s→−1⁺가 된다. 방향을 반대로 적는 순간 다른 조각을 읽게 된다.
실수 포인트 ③ : f(f(x))에서 안·밖이 모두 f라 헷갈려 한 번만 치환하는 실수. 안쪽 f(x)=r → r→0⁻ → 바깥 f(r)=f(0⁻)=1, 두 번 읽어야 한다.
정답 : ① (1+(−1)+1=1)