“
곡선 위의 점과 직선 사이의 거리의 최솟값을 또 다른 함수의 식으로 보고, 그 함수의 최댓값을 구하는 고난도 문제입니다.
접근법: 주의할 점: ” 세 꼭짓점 좌표로 삼각형 넓이 구하기
1. 먼저 거리의 최솟값 f(a)를 a에 대한 식으로 표현해야 합니다. 이는 주어진 직선과 평행한 접선 사이의 거리를 구하는 것과 같습니다.
2. 기울기가 2인 접선의 방정식을 판별식 D=0을 이용해 구하면, 접선의 y절편이 a에 대한 식으로 나타납니다.
3. 평행한 두 직선 사이의 거리 공식을 이용하면, 최솟값 f(a)가 a에 대한 이차식의 절댓값 형태로 표현됩니다.
4. 주어진 a의 범위(3
최솟값을 구하는 과정 자체를 하나의 함수로 보고, 그 함수의 최대/최소를 다시 구하는 다단계 추론이 필요합니다. 각 단계별 목표를 명확히 해야 합니다.
“
곡선 위의 점과 직선 사이의 거리의 최솟값이 주어졌을 때 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 265번과 같이, 곡선과 직선 사이의 최단 거리는 주어진 직선과 **평행한 접선**을 이용해 구합니다.
2. 곡선에 접하면서 기울기가 4인 접선의 방정식을 판별식 D=0을 이용해 구합니다.
3. 이제 문제는 ‘평행한 두 직선(원래 직선과 접선) 사이의 거리가 √17이다’라는 문제로 바뀝니다.
4. 두 평행한 직선 사이의 거리 공식을 이용해 k에 대한 방정식을 풀고, 조건에 맞는 답을 찾습니다.
주의할 점:
접선과 원래 직선 중 어느 것이 위쪽에 있는지에 따라 k값이 두 개 나올 수 있습니다. 문제의 상황에 맞는 k값을 선택해야 합니다.
”
곡선과 직선 거리 최솟값의 최댓값
“
곡선 위의 점과 직선 위의 점 사이의 최단 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 이 거리가 최소가 될 때는, 주어진 직선을 평행이동하여 곡선에 **처음으로 접하게** 될 때, 그 **접점**과 직선 사이의 거리입니다.
2. 주어진 직선과 평행한, 즉 기울기가 같은 접선의 방정식을 구합니다.
3. 기울기가 2인 접선이 이차함수 y=x²에 접할 조건을 **판별식 D=0**을 이용해 구합니다.
4. 접선의 방정식이 완성되면, 접점 A의 좌표도 구할 수 있습니다.
5. 최소 거리는 평행한 두 직선(원래 직선과 접선) 사이의 거리와 같습니다.
주의할 점:
문제는 점 A의 좌표만 묻고 있습니다. 접점을 찾기 위해, 판별식 D=0을 만족하는 이차방정식의 중근을 구하면 그것이 접점의 x좌표가 됩니다.
”
곡선과 직선 사이 거리 최솟값
“
두 직선의 교점을 지나는 직선과, 다른 한 점 사이의 거리의 최댓값을 구하는 문제입니다. 262번 원리의 일반화입니다.
접근법:
1. 두 직선의 교점 P의 좌표를 구합니다.
2. 문제는 ‘점 P를 지나는 직선들과 점 A(2,-2) 사이의 거리의 최댓값’을 구하는 것으로 바뀝니다.
3. 262번 원리와 같이, 점 A와 직선 사이의 거리는 직선이 **선분 AP와 수직**일 때 최대가 되며, 그 최댓값은 **선분 AP의 길이**입니다.
4. 따라서 두 점 A와 P 사이의 거리를 구하면 그것이 바로 답이 됩니다.
주의할 점:
어떤 점(원점이든, 다른 점이든)과 정점을 지나는 직선군 사이의 거리 최댓값은, 항상 두 점 사이의 거리라는 일반적인 원리를 이해하는 것이 중요합니다.
”
곡선 위의 점과 직선 사이 최단 거리
“
262번 문제와 동일한 문제입니다. 두 직선의 교점을 지나는 직선 중 원점과의 거리가 최대인 직선의 방정식을 구합니다.
접근법:
1. 두 직선의 교점 P의 좌표를 구합니다.
2. 원점과의 거리가 최대가 되는 직선은, **선분 OP에 수직**이면서 **점 P를 지나는 직선**입니다.
3. 직선 OP의 기울기를 구합니다.
4. 그것과 수직인 기울기를 구합니다.
5. 점 P를 지나고 4단계에서 구한 수직 기울기를 갖는 직선의 방정식을 세웁니다.
주의할 점:
262번은 최댓값(거리)을, 이 문제는 최댓값을 만들어내는 ‘직선의 방정식’을 묻고 있습니다. 문제의 최종 질문을 정확히 파악해야 합니다.
”
교점과 한 점 사이 거리 최댓값
“
두 직선의 교점을 지나는 무수히 많은 직선들 중에서, 원점에서의 거리가 최대가 되는 특정 직선을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 직선의 교점 P의 좌표를 구합니다.
2. 이제 문제는 ‘점 P를 지나는 직선들 중 원점 O와의 거리가 최대인 직선’을 찾는 문제로 바뀝니다.
3. 259번 원리와 같이, 이 거리가 최대가 되는 경우는 해당 직선이 **선분 OP와 수직**일 때이며, 최댓값은 **선분 OP의 길이**입니다.
4. 따라서 두 점 O, P 사이의 거리를 구하면 그것이 바로 답이 됩니다.
주의할 점:
문제가 복잡해 보이지만, ‘교점을 지나는 직선’을 ‘정점을 지나는 직선’으로 해석하면, 거리의 최댓값은 정점과 원점 사이의 거리라는 간단한 결론에 도달합니다.
”
교점을 지나는 직선과 원점 거리 최대인 직선
“
259, 260번 문제와 동일한 원리입니다. 특정 점 A와, 정점을 지나는 직선 사이의 거리의 최댓값을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 미지수 m을 포함한 직선이 항상 지나는 **정점 P**의 좌표를 구합니다.
2. 점 A와 이 직선 사이의 거리가 최대가 되는 경우는, 이 직선이 **선분 AP와 수직**일 때입니다.
3. 문제에서는 최댓값이 아닌, 그때의 m(기울기) 값을 묻고 있습니다.
4. 따라서 직선 AP의 기울기를 구하고, 그것과 곱해서 -1이 되는 수직 기울기를 찾으면, 그것이 바로 구하는 m값입니다.
주의할 점:
거리의 최댓값 자체는 선분 AP의 길이지만, 문제에서 묻는 것은 최댓값을 만들어내는 ‘직선의 기울기’라는 점을 명확히 구분해야 합니다.
”
두 직선 교점과 원점 거리 최댓값
“
259번 문제와 동일하게, 정점을 지나는 직선과 원점 사이의 거리의 최댓값을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선이 k값에 관계없이 항상 지나는 **정점 P**의 좌표를 구합니다.
2. 원점 O와 직선 사이의 거리가 최대가 될 때는, 그 거리가 **선분 OP의 길이**와 같을 때입니다. 최댓값 b는 선분 OP의 길이입니다.
3. 거리가 최대가 되는 직선은 선분 OP에 수직입니다. 직선 OP의 기울기를 구한 뒤, 수직 기울기를 찾습니다.
4. 정점 P를 지나고 수직 기울기를 갖는 직선이 되도록 하는 k값을 찾아 a를 구합니다.
주의할 점:
최댓값뿐만 아니라, 최댓값을 갖게 하는 k값까지 구해야 합니다. 이는 거리가 최대가 되는 순간의 직선이 어떤 직선인지를 특정해야 함을 의미합니다.
”
정점과 한 점 사이 거리 최댓값의 기울기
“
정점을 지나는 직선과 원점 사이의 거리의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. **(방법 1: 대수적 풀이)** 원점과 주어진 직선 사이의 거리를 k에 대한 식으로 표현합니다. 이 식이 최대가 되려면 분모가 최소가 되어야 합니다. 분모에 있는 k에 대한 이차식의 최솟값을 이용해 답을 구합니다.
2. **(방법 2: 기하학적 풀이)** 먼저 직선이 k값에 관계없이 항상 지나는 정점 P를 구합니다. 이 문제는 원점 O에서 정점 P를 지나는 수많은 직선까지의 거리를 묻는 것과 같습니다. 거리는 직선이 **선분 OP와 수직일 때 최대**가 되며, 그 최댓값은 바로 **선분 OP의 길이**입니다.
주의할 점:
기하학적 풀이(방법 2)가 훨씬 간단하고 직관적입니다. ‘정점을 지나는 직선과 한 점 사이의 거리의 최댓값은 두 점 사이의 거리’라는 사실을 반드시 기억해두세요.
”
정점과 원점 거리 최댓값과 그 때의 k값
“
넓이가 같은 삼각형의 기하학적 성질을 이용하는 문제입니다. 192, 195번 문제와 유사합니다.
접근법:
1. 두 삼각형 ABC와 ADC는 밑변 AC가 공통입니다.
2. 두 삼각형의 넓이가 같으려면 **높이가 같아야** 합니다. 즉, 점 B와 점 D에서 직선 AC까지의 거리가 같아야 합니다.
3. 이는 직선 BD가 직선 AC와 **평행**함을 의미합니다.
4. 직선 AC의 기울기와 직선 BD의 기울기가 같다고 등식을 세워, 점 D의 좌표를 구합니다.
5. 최종적으로 직선 AD의 기울기를 구합니다.
주의할 점:
점 D가 선분 OC 위를 움직인다는 조건이 있으므로, 평행 조건을 만족하는 점이 해당 범위에 있는지 확인해야 합니다.
”
정점을 지나는 직선과 원점 거리 최댓값
