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평행한 두 직선 사이의 거리를 이용하고, 사다리꼴의 넓이를 계산하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선 l₁, l₂는 평행합니다. 직선 l₂의 방정식을 x-2y+a=0 (a>0) 으로 설정합니다.
2. 사다리꼴 ADCB의 넓이를 두 개의 삼각형(ADC와 ACB)의 넓이의 합으로 표현합니다.
3. 각 삼각형의 넓이를 밑변과 높이를 이용해 a에 대한 식으로 나타냅니다.
4. 전체 넓이가 25라는 등식을 풀어 a값을 구합니다.
5. 구하려는 두 직선 사이의 거리는, l₁ 위의 한 점과 l₂ 사이의 거리 공식을 이용해 계산합니다.
주의할 점:
사다리꼴의 넓이를 직접 구하는 것보다, 공통 밑변을 갖는 두 삼각형의 넓이 합으로 구하는 것이 계산이 더 편리할 수 있습니다.
”
넓이가 같을 조건과 평행선
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평행한 두 직선과 수직인 선분, 그리고 삼각형의 넓이를 종합적으로 활용하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형의 밑변 PQ의 길이는 평행한 두 직선 사이의 거리와 같습니다. 거리 공식을 이용해 PQ의 길이를 구합니다.
2. 삼각형 OPQ의 넓이가 20이라고 주어졌으므로, 높이 OH(원점에서 직선 PQ까지의 거리)를 구할 수 있습니다.
3. 직선 PQ는 주어진 두 직선과 수직이므로, 기울기를 쉽게 알 수 있습니다. (기울기 -1/2)
4. 직선 PQ의 방정식을 y=-1/2x + k 로 설정하고, 원점과의 거리가 2단계에서 구한 높이와 같다는 식을 세워 k값을 구합니다.
5. 완성된 직선 PQ의 방정식을 문제의 형태와 비교하여 a, b를 찾습니다.
주의할 점:
넓이와 밑변 길이를 이용해 높이를 먼저 구하고, 그 높이(원점과의 거리)를 이용해 직선의 방정식을 완성하는 역순으로 문제를 풀어가야 합니다.
”
평행선과 사다리꼴 넓이
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정사각형의 성질과 평행한 두 직선의 관계를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 정사각형이므로 마주보는 두 변 AB와 CD는 서로 평행합니다. 따라서 직선 CD는 직선 AB와 기울기가 같습니다.
2. 직선 AB의 방정식을 구합니다.
3. 직선 CD는 직선 AB와 평행하므로, y절편만 미지수로 설정하여 방정식을 세울 수 있습니다.
4. 정사각형의 한 변의 길이는 두 점 A, B 사이의 거리와 같습니다.
5. 또한 한 변의 길이는, 평행한 두 직선 AB와 CD 사이의 거리와도 같습니다. 이 등식을 이용해 직선 CD의 y절편을 구하고, 최종적으로 a, b 값을 찾습니다.
주의할 점:
정사각형의 한 변의 길이를 ‘두 점 사이의 거리’로도, ‘평행한 두 직선 사이의 거리’로도 표현할 수 있다는 점을 이용하는 것이 이 문제의 핵심 아이디어입니다.
”
평행선과 수직선의 넓이 활용
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평행한 두 직선 위의 점을 잇는 선분 길이의 최솟값을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선이 평행한지 먼저 확인합니다.
2. 평행한 두 직선 위의 점을 잇는 선분의 길이가 최소가 될 때는, 그 선분이 두 직선에 **수직**일 때입니다.
3. 따라서 선분 길이의 최솟값은 **두 평행한 직선 사이의 거리**와 같습니다.
4. 두 직선 사이의 거리를 공식을 이용해 구하면 됩니다.
주의할 점:
‘선분 길이의 최솟값’이라는 표현을 ‘두 직선 사이의 거리’로 기하학적으로 해석하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
”
정사각형과 평행한 두 직선
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평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 문제입니다. 평행 조건을 이용해 미지수 m을 먼저 결정해야 합니다.
접근법:
1. 두 직선이 평행하므로, x와 y의 계수비가 같아야 합니다. 이를 이용해 m에 대한 이차방정식을 풀고, 상수항의 비는 달라야 한다는 조건에 맞는 m값을 찾습니다.
2. 확정된 m값을 대입하여 두 직선의 방정식을 완성합니다.
3. 252번 문제와 같이, 한 직선 위의 점과 다른 직선 사이의 거리를 구하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
평행 조건을 풀 때 나오는 m값 중, 두 직선을 일치시키는 값은 제외해야 합니다. 문제의 조건을 꼼꼼히 확인하는 습관이 필요합니다.
”
평행선 위 두 점 사이 거리 최솟값
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두 직선이 평행할 조건을 먼저 구한 뒤, 두 직선 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선이 평행할 조건을 이용하여 m의 값을 먼저 구합니다. (기울기가 같음)
2. m값을 대입하여 두 직선의 방정식을 완전히 결정합니다.
3. 한 직선 위의 아무 점이나 하나 잡습니다. (예: 2x-y+2=0 위의 점 (0,2))
4. 3단계에서 잡은 점과 다른 한 직선 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
평행 조건을 이용해 m값을 먼저 찾는 것이 첫 번째 단계입니다. 두 평행한 직선 사이의 거리를 구하는 방법을 정확히 숙지하고 있어야 합니다.
”
평행할 때 두 직선 사이의 거리
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평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 문제입니다. 계수에 대한 추가 조건이 주어졌습니다.
접근법:
1. 평행한 두 직선 사이의 거리 공식을 적용합니다. 거리는 |4-2| / √(a²+b²) 가 됩니다.
2. 문제에서 a²+b²=16 이라는 조건을 주었으므로, 이 값을 공식의 분모에 직접 대입합니다.
3. 간단한 계산을 통해 두 직선 사이의 거리를 구합니다.
주의할 점:
주어진 조건들을 공식의 어느 부분에 대입해야 하는지 정확히 파악하는 것이 중요합니다. 문제가 복잡해 보이지만, 실제 계산은 매우 간단합니다.
”
평행 조건과 두 직선 사이의 거리
“
평행한 두 직선 사이의 거리를 구하는 공식을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 평행한 두 직선 ax+by+c₁=0, ax+by+c₂=0 사이의 거리는 |c₁-c₂| / √(a²+b²) 입니다.
2. 주어진 두 직선의 방정식을 이 형태에 맞게 변형합니다.
3. 거리 공식을 적용하여 두 직선 사이의 거리가 √5 라고 등식을 세웁니다.
4. 이 방정식을 풀어 가능한 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
공식을 사용하지 않을 경우, 한 직선 위의 임의의 점(예: x=0일 때의 점)을 잡고, 그 점과 다른 직선 사이의 거리를 구해도 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.
”
평행한 두 직선 사이의 거리와 조건
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복잡한 조건이 주어졌지만, 기하학적 해석을 통해 문제를 단순화하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건 해석: 삼각형 OPR의 넓이는 1/2 * 밑변 * 높이입니다. 밑변 PR의 길이는 b에 대한 식으로, 높이는 원점과 직선 y=x-2 사이의 거리(상수)로 표현할 수 있습니다. 이를 통해 b값을 먼저 확정합니다.
2. (나) 조건 해석: 두 원의 넓이 비가 1:4이므로, 지름의 길이 비, 즉 PQ:QR은 1:2 입니다.
3. 점 Q는 선분 PR을 1:2로 내분하는 점입니다. 확정된 P, R 좌표와 내분점 공식을 이용해 점 Q의 좌표를 구하고, 이를 통해 a값을 찾습니다.
주의할 점:
각각의 조건이 무엇을 의미하는지 기하학적, 대수적으로 정확히 해석하고 연결하는 능력이 필요합니다. 특히 넓이 조건을 거리와 선분 길이로 변환하는 과정이 중요합니다.
”
평행한 두 직선 사이의 거리
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두 직선의 교점을 지나고 특정 점에서의 거리가 주어진 직선의 방정식을 구하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선의 교점을 먼저 구합니다.
2. 구하려는 직선은 이 교점을 지나므로, 기울기 m만 미지수로 설정하여 직선의 방정식을 세울 수 있습니다.
3. 점 (1,2)와 이 직선 사이의 거리가 1이라는 조건을 이용해 m에 대한 방정식을 풉니다.
4. 구한 m값을 직선의 방정식에 다시 대입하여 완성하고, 문제의 형태에 맞게 계수를 비교합니다.
주의할 점:
점과 직선 사이의 거리 공식을 사용하면 분모에 루트가 포함된 복잡한 방정식이 나옵니다. 양변을 제곱하여 정리하는 과정에서 계산 실수가 없도록 주의해야 합니다.
”
기하학적 관계와 좌표 추론
