📌 문제 (고1 2023년 9월 모의고사 27번 · 4점)
다항식 P(x)에 대하여 (x − 2)P(x) − x²을 P(x) − x로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지는 P(x) − 3x이다. P(x)를 Q(x)로 나눈 나머지가 10일 때, P(30)의 값을 구하시오. (단, 다항식 P(x) − x는 0이 아니다.)
정답: 91
🎯 출제자의 의도
“나머지정리와 나눗셈 항등식을 유연하게 조작할 수 있는가?”
- 다항식 나눗셈의 기본식 A = BQ + R에서 나머지의 차수 조건(deg R < deg B)을 이용해 P(x)의 차수를 결정하는 능력을 평가합니다.
- 식을 정리해 Q(x)를 역으로 찾아내는 대수적 조작 능력을 요구합니다.
- 마지막에 나머지정리 P(α) = R을 적용해 미지수를 한 방에 결정합니다.
🔑 문제풀이 핵심 단서 3가지
- 단서 1 — 차수 비교로 P(x)의 차수 결정
나머지 P(x) − 3x의 차수는 나누는 식 P(x) − x의 차수보다 반드시 낮아야 합니다. 그런데 두 식의 최고차항은 P(x)에서 오므로, P(x)의 차수가 2 이상이면 두 식의 차수가 같아져 모순. 따라서 P(x)는 일차식. - 단서 2 — 상수 조건으로 최고차항 계수 결정
P(x) = ax + b라 두면 나머지 P(x) − 3x = (a − 3)x + b. 이것이 차수 0(상수)이 되려면 a = 3. - 단서 3 — 항등식 정리로 Q(x) 찾기
주어진 항등식을 {P(x) − x}Q(x) = ? 꼴로 정리하면 우변이 기적같이 (x − 3){P(x) − x}로 인수분해되어 Q(x) = x − 3.
📖 상세 풀이
[1단계] P(x)의 차수는 1
다항식 (x − 2)P(x) − x²을 P(x) − x로 나눈 나머지가 P(x) − 3x이므로, 나머지의 차수 < 나누는 식의 차수. 즉
deg{P(x) − 3x} < deg{P(x) − x}
만약 P(x)의 차수가 2 이상이면 좌변과 우변 모두 P(x)의 최고차항이 살아남아 차수가 같아지므로 모순. 따라서 P(x)의 차수는 1.
[2단계] P(x) = 3x + b
P(x) = ax + b (a ≠ 0)라 두면:
P(x) − 3x = (a − 3)x + b
이것이 상수(차수 0)여야 하므로 a = 3. 따라서 P(x) = 3x + b.
[3단계] Q(x) 찾기
나눗셈의 기본식:
(x − 2)P(x) − x² = {P(x) − x}Q(x) + P(x) − 3x
이 식을 Q(x)에 대해 정리하면:
{P(x) − x}Q(x) = (x − 2)P(x) − x² − {P(x) − 3x}
우변을 풀면:
= (x − 2)P(x) − P(x) − x² + 3x
= P(x)(x − 3) − x(x − 3)
= (x − 3){P(x) − x}
양변을 P(x) − x로 나누면(문제 조건에서 이 식은 0이 아님):
Q(x) = x − 3
[4단계] 나머지정리로 b 결정
P(x)를 Q(x) = x − 3으로 나눈 나머지가 10이므로 나머지정리에 의해:
P(3) = 10
P(x) = 3x + b에 대입:
3·3 + b = 10 ⇒ b = 1
[5단계] 최종 답
P(x) = 3x + 1이므로:
P(30) = 3 × 30 + 1 = 91 ✅
⚡ 시험용 직관적 빠른풀이 (90초 컷)
STEP 1. “나머지의 차수 < 나누는 식의 차수” 원칙.
P(x) − 3x와 P(x) − x는 P(x)의 차수가 2 이상이면 최고차항이 같음 → 차수 같음 → 모순.
⇒ P(x)는 1차. P(x) = ax + b.
STEP 2. P(x) − 3x가 상수 → a = 3, 즉 P(x) = 3x + b.
STEP 3. 항등식을 Q(x)에 대해 밀어서 정리:
{P(x) − x}Q(x) = (x − 3){P(x) − x}
→ Q(x) = x − 3 (그냥 x − 3을 묶어내는 연습).
STEP 4. 나머지정리: P(3) = 10 → 9 + b = 10 → b = 1.
STEP 5. P(30) = 90 + 1 = 91.
🔥 핵심 한 줄: “나머지의 차수 조건 → P(x)의 차수 결정 → 항등식에서 공통인수 (x − 3) 묶어내기 → 나머지정리로 상수항 결정”
💡 이 문제 학습 포인트
- (1) 차수 조건의 힘: A ÷ B의 나머지 R은 반드시 deg R < deg B. 이 한 줄이 P(x)의 차수를 결정합니다. 나머지정리 단원에서 가장 많이 빠뜨리는 포인트입니다.
- (2) 항등식 변형의 감각: (x − 2)P(x) − x² − {P(x) − 3x}에서 P(x)를 공통으로 묶으면 (x − 3)이 자연스럽게 인수로 등장. 기계적 전개가 아니라 공통인수 사냥을 훈련하세요.
- (3) 나머지정리의 최종 활용: P(x) ÷ (x − α)의 나머지 = P(α). 모든 조건을 소진한 마지막에 등장해서 미지수 한 개를 깔끔하게 해결합니다.
- (4) “특별 조건” 놓치지 말기: “단, P(x) − x는 0이 아니다”는 단서는 양변을 P(x) − x로 나누는 단계를 정당화하기 위한 장치입니다.
📚 관련 출처: 2023학년도 9월 고1 전국연합학력평가 수학 27번 (4점, 단답형 고난도)