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두 직선의 교점을 지나는 직선과, 다른 한 점 사이의 거리의 최댓값을 구하는 문제입니다. 262번 원리의 일반화입니다.
접근법:
1. 두 직선의 교점 P의 좌표를 구합니다.
2. 문제는 ‘점 P를 지나는 직선들과 점 A(2,-2) 사이의 거리의 최댓값’을 구하는 것으로 바뀝니다.
3. 262번 원리와 같이, 점 A와 직선 사이의 거리는 직선이 **선분 AP와 수직**일 때 최대가 되며, 그 최댓값은 **선분 AP의 길이**입니다.
4. 따라서 두 점 A와 P 사이의 거리를 구하면 그것이 바로 답이 됩니다.
주의할 점:
어떤 점(원점이든, 다른 점이든)과 정점을 지나는 직선군 사이의 거리 최댓값은, 항상 두 점 사이의 거리라는 일반적인 원리를 이해하는 것이 중요합니다.
”
곡선 위의 점과 직선 사이 최단 거리
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262번 문제와 동일한 문제입니다. 두 직선의 교점을 지나는 직선 중 원점과의 거리가 최대인 직선의 방정식을 구합니다.
접근법:
1. 두 직선의 교점 P의 좌표를 구합니다.
2. 원점과의 거리가 최대가 되는 직선은, **선분 OP에 수직**이면서 **점 P를 지나는 직선**입니다.
3. 직선 OP의 기울기를 구합니다.
4. 그것과 수직인 기울기를 구합니다.
5. 점 P를 지나고 4단계에서 구한 수직 기울기를 갖는 직선의 방정식을 세웁니다.
주의할 점:
262번은 최댓값(거리)을, 이 문제는 최댓값을 만들어내는 ‘직선의 방정식’을 묻고 있습니다. 문제의 최종 질문을 정확히 파악해야 합니다.
”
교점과 한 점 사이 거리 최댓값
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두 직선의 교점을 지나는 무수히 많은 직선들 중에서, 원점에서의 거리가 최대가 되는 특정 직선을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 직선의 교점 P의 좌표를 구합니다.
2. 이제 문제는 ‘점 P를 지나는 직선들 중 원점 O와의 거리가 최대인 직선’을 찾는 문제로 바뀝니다.
3. 259번 원리와 같이, 이 거리가 최대가 되는 경우는 해당 직선이 **선분 OP와 수직**일 때이며, 최댓값은 **선분 OP의 길이**입니다.
4. 따라서 두 점 O, P 사이의 거리를 구하면 그것이 바로 답이 됩니다.
주의할 점:
문제가 복잡해 보이지만, ‘교점을 지나는 직선’을 ‘정점을 지나는 직선’으로 해석하면, 거리의 최댓값은 정점과 원점 사이의 거리라는 간단한 결론에 도달합니다.
”
교점을 지나는 직선과 원점 거리 최대인 직선
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259, 260번 문제와 동일한 원리입니다. 특정 점 A와, 정점을 지나는 직선 사이의 거리의 최댓값을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 미지수 m을 포함한 직선이 항상 지나는 **정점 P**의 좌표를 구합니다.
2. 점 A와 이 직선 사이의 거리가 최대가 되는 경우는, 이 직선이 **선분 AP와 수직**일 때입니다.
3. 문제에서는 최댓값이 아닌, 그때의 m(기울기) 값을 묻고 있습니다.
4. 따라서 직선 AP의 기울기를 구하고, 그것과 곱해서 -1이 되는 수직 기울기를 찾으면, 그것이 바로 구하는 m값입니다.
주의할 점:
거리의 최댓값 자체는 선분 AP의 길이지만, 문제에서 묻는 것은 최댓값을 만들어내는 ‘직선의 기울기’라는 점을 명확히 구분해야 합니다.
”
두 직선 교점과 원점 거리 최댓값
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259번 문제와 동일하게, 정점을 지나는 직선과 원점 사이의 거리의 최댓값을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선이 k값에 관계없이 항상 지나는 **정점 P**의 좌표를 구합니다.
2. 원점 O와 직선 사이의 거리가 최대가 될 때는, 그 거리가 **선분 OP의 길이**와 같을 때입니다. 최댓값 b는 선분 OP의 길이입니다.
3. 거리가 최대가 되는 직선은 선분 OP에 수직입니다. 직선 OP의 기울기를 구한 뒤, 수직 기울기를 찾습니다.
4. 정점 P를 지나고 수직 기울기를 갖는 직선이 되도록 하는 k값을 찾아 a를 구합니다.
주의할 점:
최댓값뿐만 아니라, 최댓값을 갖게 하는 k값까지 구해야 합니다. 이는 거리가 최대가 되는 순간의 직선이 어떤 직선인지를 특정해야 함을 의미합니다.
”
정점과 한 점 사이 거리 최댓값의 기울기
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정점을 지나는 직선과 원점 사이의 거리의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. **(방법 1: 대수적 풀이)** 원점과 주어진 직선 사이의 거리를 k에 대한 식으로 표현합니다. 이 식이 최대가 되려면 분모가 최소가 되어야 합니다. 분모에 있는 k에 대한 이차식의 최솟값을 이용해 답을 구합니다.
2. **(방법 2: 기하학적 풀이)** 먼저 직선이 k값에 관계없이 항상 지나는 정점 P를 구합니다. 이 문제는 원점 O에서 정점 P를 지나는 수많은 직선까지의 거리를 묻는 것과 같습니다. 거리는 직선이 **선분 OP와 수직일 때 최대**가 되며, 그 최댓값은 바로 **선분 OP의 길이**입니다.
주의할 점:
기하학적 풀이(방법 2)가 훨씬 간단하고 직관적입니다. ‘정점을 지나는 직선과 한 점 사이의 거리의 최댓값은 두 점 사이의 거리’라는 사실을 반드시 기억해두세요.
”
정점과 원점 거리 최댓값과 그 때의 k값
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넓이가 같은 삼각형의 기하학적 성질을 이용하는 문제입니다. 192, 195번 문제와 유사합니다.
접근법:
1. 두 삼각형 ABC와 ADC는 밑변 AC가 공통입니다.
2. 두 삼각형의 넓이가 같으려면 **높이가 같아야** 합니다. 즉, 점 B와 점 D에서 직선 AC까지의 거리가 같아야 합니다.
3. 이는 직선 BD가 직선 AC와 **평행**함을 의미합니다.
4. 직선 AC의 기울기와 직선 BD의 기울기가 같다고 등식을 세워, 점 D의 좌표를 구합니다.
5. 최종적으로 직선 AD의 기울기를 구합니다.
주의할 점:
점 D가 선분 OC 위를 움직인다는 조건이 있으므로, 평행 조건을 만족하는 점이 해당 범위에 있는지 확인해야 합니다.
”
정점을 지나는 직선과 원점 거리 최댓값
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평행한 두 직선 사이의 거리를 이용하고, 사다리꼴의 넓이를 계산하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 직선 l₁, l₂는 평행합니다. 직선 l₂의 방정식을 x-2y+a=0 (a>0) 으로 설정합니다.
2. 사다리꼴 ADCB의 넓이를 두 개의 삼각형(ADC와 ACB)의 넓이의 합으로 표현합니다.
3. 각 삼각형의 넓이를 밑변과 높이를 이용해 a에 대한 식으로 나타냅니다.
4. 전체 넓이가 25라는 등식을 풀어 a값을 구합니다.
5. 구하려는 두 직선 사이의 거리는, l₁ 위의 한 점과 l₂ 사이의 거리 공식을 이용해 계산합니다.
주의할 점:
사다리꼴의 넓이를 직접 구하는 것보다, 공통 밑변을 갖는 두 삼각형의 넓이 합으로 구하는 것이 계산이 더 편리할 수 있습니다.
”
넓이가 같을 조건과 평행선
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평행한 두 직선과 수직인 선분, 그리고 삼각형의 넓이를 종합적으로 활용하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형의 밑변 PQ의 길이는 평행한 두 직선 사이의 거리와 같습니다. 거리 공식을 이용해 PQ의 길이를 구합니다.
2. 삼각형 OPQ의 넓이가 20이라고 주어졌으므로, 높이 OH(원점에서 직선 PQ까지의 거리)를 구할 수 있습니다.
3. 직선 PQ는 주어진 두 직선과 수직이므로, 기울기를 쉽게 알 수 있습니다. (기울기 -1/2)
4. 직선 PQ의 방정식을 y=-1/2x + k 로 설정하고, 원점과의 거리가 2단계에서 구한 높이와 같다는 식을 세워 k값을 구합니다.
5. 완성된 직선 PQ의 방정식을 문제의 형태와 비교하여 a, b를 찾습니다.
주의할 점:
넓이와 밑변 길이를 이용해 높이를 먼저 구하고, 그 높이(원점과의 거리)를 이용해 직선의 방정식을 완성하는 역순으로 문제를 풀어가야 합니다.
”
평행선과 사다리꼴 넓이
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정사각형의 성질과 평행한 두 직선의 관계를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 정사각형이므로 마주보는 두 변 AB와 CD는 서로 평행합니다. 따라서 직선 CD는 직선 AB와 기울기가 같습니다.
2. 직선 AB의 방정식을 구합니다.
3. 직선 CD는 직선 AB와 평행하므로, y절편만 미지수로 설정하여 방정식을 세울 수 있습니다.
4. 정사각형의 한 변의 길이는 두 점 A, B 사이의 거리와 같습니다.
5. 또한 한 변의 길이는, 평행한 두 직선 AB와 CD 사이의 거리와도 같습니다. 이 등식을 이용해 직선 CD의 y절편을 구하고, 최종적으로 a, b 값을 찾습니다.
주의할 점:
정사각형의 한 변의 길이를 ‘두 점 사이의 거리’로도, ‘평행한 두 직선 사이의 거리’로도 표현할 수 있다는 점을 이용하는 것이 이 문제의 핵심 아이디어입니다.
”
평행선과 수직선의 넓이 활용
