“
두 직선이 이루는 각을 이등분하는 직선의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 각의 이등분선은, 두 직선으로부터 **같은 거리에 있는 점들의 자취**입니다.
2. 자취 위의 임의의 점을 P(x,y)로 설정합니다.
3. ‘점 P에서 첫 번째 직선까지의 거리’ = ‘점 P에서 두 번째 직선까지의 거리’ 라는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식은 절댓값을 포함하며, |A|=|B| 형태가 됩니다.
5. A=B 인 경우와 A=-B 인 경우, 두 가지를 모두 풀면 서로 수직인 두 개의 각의 이등분선 방정식이 나옵니다.
주의할 점:
두 직선이 이루는 각은 2개가 있으므로, 그 각을 이등분하는 직선도 항상 2개가 나온다는 사실을 기억해야 합니다.
”
두 수직인 직선의 각의 이등분선
“
세 꼭짓점의 좌표가 미지수를 포함하여 주어지고, 삼각형의 넓이가 알려졌을 때 미지수 값을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 미지수가 없는 두 점 A, B를 잇는 선분 AB를 밑변으로 정하고 길이를 구합니다.
2. 직선 AB의 방정식을 구합니다.
3. 점 C에서 직선 AB까지의 거리(높이)를 미지수 a를 포함한 식으로 표현합니다.
4. 넓이 = 1/2 * (밑변 AB) * (높이 h) = 18 이라는 등식을 세웁니다.
5. a에 대한 절댓값 방정식을 풀어 가능한 모든 a값의 합을 구합니다.
주의할 점:
신발끈 공식을 바로 사용하여 a에 대한 방정식을 세울 수도 있습니다. 어떤 방법이든 절댓값을 포함한 방정식이 나오게 됩니다.
”
두 직선의 각의 이등분선
“
271번 문제와 동일하게, 세 직선으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 직선의 방정식을 두 개씩 연립하여 세 교점(삼각형의 꼭짓점)의 좌표를 모두 구합니다.
2. 한 변을 밑변으로 정하고 길이를 구합니다.
3. 그 변을 포함하는 직선과 나머지 한 꼭짓점 사이의 거리를 구해 높이를 찾습니다.
4. 넓이 공식을 이용해 답을 계산합니다. (또는 신발끈 공식 활용)
주의할 점:
연립방정식을 세 번 풀어야 하므로 계산 과정이 깁니다. 각 교점의 좌표를 정확히 구하는 것이 중요합니다.
”
넓이가 주어진 삼각형의 미지수
“
세 직선으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (교점 찾기) 세 직선 중 두 직선씩 짝지어 연립방정식을 풀어, 삼각형의 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 모두 구합니다.
2. (넓이 구하기) 세 꼭짓점의 좌표를 알았으므로, 268번 문제와 같이 밑변과 높이를 이용하거나, 신발끈 공식을 이용해 넓이를 구합니다.
주의할 점:
세 꼭짓점 중 하나가 원점(O)이므로 계산이 비교적 간단합니다. 신발끈 공식을 사용할 때 한 점이 원점이면 공식이 매우 단순해져서 편리합니다.
”
세 직선 교점으로 삼각형 넓이 구하기
“
삼각형의 넓이가 특정 값으로 주어졌을 때, 미지수를 찾는 문제입니다. 269번 문제와 구조가 유사합니다.
접근법:
1. 삼각형 OAP에서 선분 OA를 밑변으로 고정하고 길이를 구합니다.
2. 삼각형의 높이는 점 P에서 직선 OA까지의 거리입니다.
3. 주어진 직선과 직선 OA가 평행하므로, 높이는 두 직선 사이의 거리와 같습니다. 이는 **원점과 주어진 직선 사이의 거리**와도 같습니다.
4. 삼각형의 넓이 = 1/2 * (밑변 OA) * (높이 h) = 10 이라는 등식을 세웁니다.
5. 높이 h를 미지수 k를 포함한 식으로 표현하고, 등식을 풀어 양수 k값을 구합니다.
주의할 점:
269번과 마찬가지로, 두 직선이 평행함을 먼저 파악해야 문제의 구조가 보입니다. 넓이 공식을 이용해 높이를 역으로 구하는 문제입니다.
”
세 직선으로 둘러싸인 삼각형 넓이
“
두 정점과 직선 위의 한 점으로 만들어지는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 OAP에서, 선분 OA를 밑변으로 고정합니다.
2. 삼각형의 높이는 꼭짓점 P에서 밑변을 포함하는 **직선 OA까지의 거리**입니다.
3. 점 P는 주어진 직선 위의 어느 점이든 상관없이, 직선 OA와 주어진 직선은 평행하므로 높이는 항상 일정합니다.
4. 따라서 높이는 원점 O와 주어진 직선 사이의 거리와 같습니다.
5. 밑변(선분 OA의 길이)과 높이(원점과 직선 사이의 거리)를 구해 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
두 직선이 평행하다는 사실을 먼저 파악하는 것이 중요합니다. 이 때문에 점 P의 위치와 관계없이 삼각형의 넓이가 일정하게 유지됩니다.
”
평행선과 삼각형 넓이 조건
“
세 꼭짓점의 좌표가 주어졌을 때, 삼각형의 넓이를 구하는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. (방법 1: 밑변과 높이) 한 변(예: AB)을 밑변으로 정하고 길이를 구합니다. 이 변을 포함하는 직선의 방정식을 구한 뒤, 나머지 한 꼭짓점(C)에서 이 직선까지의 거리를 구해 높이를 찾습니다. 넓이 = 1/2 * 밑변 * 높이로 계산합니다.
2. (방법 2: 신발끈 공식) 세 꼭짓점의 좌표를 알고 있을 때, 신발끈 공식을 이용하면 빠르고 직접적으로 넓이를 계산할 수 있습니다.
주의할 점:
서술형이 아니라면 신발끈 공식이 훨씬 효율적입니다. 공식을 정확히 암기하고, 좌표를 순서대로 적고 마지막에 처음 좌표를 한 번 더 쓰는 것을 잊지 말아야 합니다.
”
평행선 위의 점으로 만든 삼각형 넓이
“
곡선 위의 점과 직선 사이의 거리의 최솟값을 또 다른 함수의 식으로 보고, 그 함수의 최댓값을 구하는 고난도 문제입니다.
접근법: 주의할 점: ” 세 꼭짓점 좌표로 삼각형 넓이 구하기
1. 먼저 거리의 최솟값 f(a)를 a에 대한 식으로 표현해야 합니다. 이는 주어진 직선과 평행한 접선 사이의 거리를 구하는 것과 같습니다.
2. 기울기가 2인 접선의 방정식을 판별식 D=0을 이용해 구하면, 접선의 y절편이 a에 대한 식으로 나타납니다.
3. 평행한 두 직선 사이의 거리 공식을 이용하면, 최솟값 f(a)가 a에 대한 이차식의 절댓값 형태로 표현됩니다.
4. 주어진 a의 범위(3
최솟값을 구하는 과정 자체를 하나의 함수로 보고, 그 함수의 최대/최소를 다시 구하는 다단계 추론이 필요합니다. 각 단계별 목표를 명확히 해야 합니다.
“
곡선 위의 점과 직선 사이의 거리의 최솟값이 주어졌을 때 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 265번과 같이, 곡선과 직선 사이의 최단 거리는 주어진 직선과 **평행한 접선**을 이용해 구합니다.
2. 곡선에 접하면서 기울기가 4인 접선의 방정식을 판별식 D=0을 이용해 구합니다.
3. 이제 문제는 ‘평행한 두 직선(원래 직선과 접선) 사이의 거리가 √17이다’라는 문제로 바뀝니다.
4. 두 평행한 직선 사이의 거리 공식을 이용해 k에 대한 방정식을 풀고, 조건에 맞는 답을 찾습니다.
주의할 점:
접선과 원래 직선 중 어느 것이 위쪽에 있는지에 따라 k값이 두 개 나올 수 있습니다. 문제의 상황에 맞는 k값을 선택해야 합니다.
”
곡선과 직선 거리 최솟값의 최댓값
“
곡선 위의 점과 직선 위의 점 사이의 최단 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 이 거리가 최소가 될 때는, 주어진 직선을 평행이동하여 곡선에 **처음으로 접하게** 될 때, 그 **접점**과 직선 사이의 거리입니다.
2. 주어진 직선과 평행한, 즉 기울기가 같은 접선의 방정식을 구합니다.
3. 기울기가 2인 접선이 이차함수 y=x²에 접할 조건을 **판별식 D=0**을 이용해 구합니다.
4. 접선의 방정식이 완성되면, 접점 A의 좌표도 구할 수 있습니다.
5. 최소 거리는 평행한 두 직선(원래 직선과 접선) 사이의 거리와 같습니다.
주의할 점:
문제는 점 A의 좌표만 묻고 있습니다. 접점을 찾기 위해, 판별식 D=0을 만족하는 이차방정식의 중근을 구하면 그것이 접점의 x좌표가 됩니다.
”
곡선과 직선 사이 거리 최솟값
