문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
곡선 위 임의의 점에서의 접선의 기울기를 준다는 건 f'(x)를 준 것이다. f'(x)=3x²−12를 적분하면 f(x)=x³−12x+C. 미분의 역연산으로 도함수→원함수로 돌아가는 순간 적분상수 C가 반드시 따라붙고, 이 C를 뒤에서 극값 조건으로 잡는다.
◀ ‘접선의 기울기’는 무조건 f'(x)로 번역하라
f'(x)=3x²−12=3(x−2)(x+2)=0 → x=−2, x=2. f'(x)는 아래로 볼록한 이차식이라 부호가 +→−→+로 바뀐다. 즉 왼쪽 x=−2에서 극대, 오른쪽 x=2에서 극소다. 외우지 말고 증감표로 부호를 눈으로 확인하는 습관을 들여라.
◀ 이차식 f'(x)의 부호가 +→−→+, 왼쪽 근이 극대
극솟값 3 = f(2)=3. 8−24+C=3 → C=19. 완성된 f(x)=x³−12x+19에서 극댓값은 x=−2일 때 f(−2)=−8+24+19=35. 한쪽 극값(조건)으로 C를 확정한 뒤, 물어본 반대쪽 극값에 대입만 하면 끝난다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : ‘접선의 기울기’는 곧 f'(x)다. 이걸 적분해 f(x)=x³−12x+C를 만들고, f'(x)=0으로 극대(x=−2)·극소(x=2) 위치를 잡는다. 주어진 극솟값 f(2)=3으로 C=19를 확정하면, 물어본 극댓값은 f(−2)에 대입만 하면 나온다.
실수 포인트 ① : x=2를 극대, x=−2를 극소로 뒤집는 실수. f'(x)=3(x−2)(x+2)의 부호가 +→−→+이므로 왼쪽 x=−2가 극대, 오른쪽 x=2가 극소다. 증감표를 그리면 헷갈리지 않는다.
실수 포인트 ② : 적분할 때 적분상수 C를 빠뜨리는 실수. C가 없으면 극값 조건을 쓸 곳이 사라진다. 부정적분에는 C가 생명이다.
실수 포인트 ③ : 조건과 물음의 대입 위치를 바꾸는 실수. 극솟값 조건은 x=2에, 물어본 극댓값은 x=−2에 각각 대입해야 한다.
정답 : 35