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f'(x)=6x(x−2)=6x²−12x를 적분하면 f(x)=2x³−6x²+C. 곱해진 형태 6x(x−2)를 먼저 전개한 뒤 항별로 적분하면 실수가 준다. 적분상수 C는 뒤 조건으로 잡는다.
◀ 곱꼴 도함수는 전개 후 항별 적분
그래프가 x축에 접한다는 건 접점이 중근이라는 뜻이고, 삼차함수에서 이는 극댓값=0 또는 극솟값=0을 의미한다. f'(x)=6x(x−2)=0에서 x=0(극대), x=2(극소). 접점 후보는 이 두 극값 자리다.
◀ x축에 접함 = 극값 중 하나가 0
(i) 극대 f(0)=0 → C=0 → f(1)=2−6=−4. (ii) 극소 f(2)=0 → 16−24+C=0 → C=8 → f(1)=2−6+8=4. 조건 f(1)>0을 만족하는 건 (ii)뿐이다. ‘접한다’는 두 갈래로 갈리니 둘 다 구하고 조건으로 걸러라.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : f'(x)를 적분해 f(x)=2x³−6x²+C를 세운다. ‘x축에 접한다’를 극값이 0이라는 방정식으로 번역하는 게 열쇠다. x=0(극대)·x=2(극소) 두 자리 중 어디서 접하는지 미리 알 수 없으니 두 경우를 모두 계산하고, 마지막에 f(1)>0으로 하나를 고른다.
실수 포인트 ① : ‘x축에 접한다’를 f(x)=0의 근이 있다는 정도로만 읽고 한 경우만 푸는 실수. 접함=극값이 0, 그리고 극값 자리가 둘이니 경우가 둘이다.
실수 포인트 ② : 6x(x−2)를 전개하지 않고 그대로 적분하려다 틀리는 실수. 6x²−12x로 펼친 뒤 적분해야 2x³−6x²이 정확히 나온다.
실수 포인트 ③ : (i)에서 나온 f(1)=−4를 답으로 고르는 실수. 단서 f(1)>0을 놓치면 안 된다. 양수 조건을 만족하는 f(1)=4가 정답이다.
정답 : ③ (f(1)=4)