문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
(가) {fg}’=3x²−3을 적분하면 fg=x³−3x+C. 여기에 (나) g=(x−2)f를 대입하면 f·(x−2)f=(x−2){f(x)}²=x³−3x+C. 변수가 f 하나로 줄었다. 조건이 여러 개면 대입으로 미지함수 수를 줄이는 게 먼저다.
◀ 관계식 대입으로 미지함수 1개로 압축
(x−2){f(x)}²=x³−3x+C에서 좌변은 x=2일 때 무조건 0이다. 따라서 우변도 x=2에서 0이어야 한다: 0=8−6+C → C=−2. 인수 (x−2)의 근 x=2를 대입해 상수를 잡는 이 한 수가 이 문제의 핵심이다.
◀ 인수의 근 대입 → 상수 결정 (인수정리 실전)
C=−2를 넣으면 x³−3x−2=(x+1)²(x−2)(조립제법). (x−2){f}²=(x+1)²(x−2)이므로 {f}²=(x+1)² → f=x+1 또는 f=−x−1. (다) f(0)<0이므로 f=−x−1. 제곱이 풀리면 항상 ± 두 갈래, 부호조건이 최종 결정타다.
◀ 제곱 풀면 ±, f(0)<0이 부호 확정
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : fg를 적분으로 복원한 뒤 g=(x−2)f를 대입해 (x−2){f}² 꼴로 만드는 게 발상의 전부다. 좌변이 (x−2)를 인수로 가지므로 x=2에서 0 — 이 성질로 C를 즉시 결정한다. 나머지는 완전제곱 → 부호결정의 표준 절차다.
실수 포인트 ① : C를 결정하지 않은 채 x³−3x+C를 인수분해하려다 막히는 실수. x=2 대입이 C를 주는 열쇠다.
실수 포인트 ② : {f}²=(x+1)²에서 f=x+1만 취하고 f=−x−1을 빠뜨리는 실수. 제곱근은 반드시 ± 두 개, f(0)<0으로 골라라.
실수 포인트 ③ : g(−2)를 물었는데 g=(x−2)f에 대입하는 걸 잊고 f(−2)를 답하는 실수. g(x)=(x−2)(−x−1)=−x²+x+2, g(−2)=−4−2+2=−4.
정답 : ⑤ −4 (g(−2) = −4)