📌 핵심 — 세 변의 중점 좌표의 합 = 세 꼭짓점 좌표의 합
삼각형 ABC의 세 변의 중점을 D, E, F라 하면, 각 중점은 양 끝 꼭짓점의 평균이므로
D = (B+C)/2, E = (C+A)/2, F = (A+B)/2
세 중점을 더하면 각 꼭짓점이 정확히 두 번씩 들어가 2로 나뉘므로, 결국 다음이 성립합니다.
xA+xB+xC = xD+xE+xF
yA+yB+yC = yD+yE+yF
⚡ 무게중심도 그대로 — 양변을 3으로 나누면 중점삼각형 DEF의 무게중심 = 원래 삼각형 ABC의 무게중심. 그래서 꼭짓점을 일일이 구하지 않아도 중점만으로 좌표 합·무게중심을 바로 구할 수 있습니다.
세 중점의 x좌표끼리, y좌표끼리 더하기 — 이 한 동작이면 세 꼭짓점 좌표의 합이 나옵니다. 꼭짓점을 직접 구하려 들지 말고, ‘중점 합’으로 바로 가는 흐름을 손에 익혀 보세요.
기본형 — 중점 합으로 꼭짓점 좌표 합 구하기
기본 1. 삼각형 ABC의 세 변의 중점이 D(2, 5), E(4, 1), F(3, 3)이다. 세 꼭짓점의 좌표의 합 (xA+xB+xC, yA+yB+yC)을 구하여라.
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x좌표의 합 = 2 + 4 + 3 = 9
y좌표의 합 = 5 + 1 + 3 = 9
∴ 세 꼭짓점의 좌표의 합 = (9, 9)
기본 2. 삼각형 ABC의 세 변의 중점이 P(1, 3), Q(0, 1), R(2, 2)이다. 세 꼭짓점의 좌표의 합과, 삼각형 ABC의 무게중심 G를 구하여라.
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∴ 세 꼭짓점의 좌표의 합 = (3, 6)
무게중심은 좌표 합을 3으로 나눈 점이므로 G = (3/3, 6/3) = (1, 2)
※ 이는 중점삼각형 PQR의 무게중심과 정확히 같다.
기본 3. 삼각형 ABC의 세 변의 중점이 D(−1, 4), E(2, 0), F(5, −2)이다. 세 꼭짓점의 좌표의 합을 구하여라.
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y좌표의 합 = 4 + 0 + (−2) = 2
∴ 세 꼭짓점의 좌표의 합 = (6, 2)
※ 음수 좌표의 부호 처리에 주의. 무게중심은 (2, 2/3).
응용형 — 미지수·조건이 붙은 경우
응용 1. 삼각형 ABC의 세 변의 중점이 D(a, 3), E(2, b), F(4, 1)이고, 세 꼭짓점의 좌표의 합이 (10, 9)이다. 이때 a + b의 값을 구하여라.
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x좌표: a + 2 + 4 = 10 ⟹ a = 4
y좌표: 3 + b + 1 = 9 ⟹ b = 5
∴ a + b = 4 + 5 = 9
응용 2. 삼각형 ABC의 세 변의 중점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 DEF의 무게중심이 (2, 1)이다. 삼각형 ABC의 무게중심 G(a, b)에 대하여 a + b의 값을 구하여라.
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(∵ 중점 좌표의 합 = 꼭짓점 좌표의 합 → 양변을 3으로 나누면 두 무게중심이 같다.)
따라서 G = (2, 1), 즉 a = 2, b = 1
∴ a + b = 2 + 1 = 3
⚠ 자주 나오는 실수
- 중점만 알면 되는데 세 꼭짓점을 일일이 구하려다 식이 복잡해지는 경우 — ‘중점 합 = 꼭짓점 합’을 바로 쓰면 된다.
- 좌표 합과 무게중심을 혼동하는 경우 — 무게중심은 좌표 합을 3으로 나눈 점이다.
- 중점삼각형의 무게중심을 묻는데 다시 3으로 나누는 경우 — 중점삼각형과 원래 삼각형의 무게중심은 같으므로 추가로 나누면 안 된다.
- 음수 좌표를 더할 때 부호를 빠뜨리는 경우.