📌 핵심 공식 — 삼각형의 무게중심
세 꼭짓점이 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)인 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는
G = ( (x₁ + x₂ + x₃) / 3 , (y₁ + y₂ + y₃) / 3 )
즉 세 꼭짓점의 x좌표 평균, y좌표 평균입니다. 무게중심은 세 중선이 만나는 점이며, 각 중선을 꼭짓점 쪽에서 2 : 1로 내분합니다.
왜 ‘세 좌표의 평균’이 무게중심일까?
무게중심의 정의(세 중선의 교점)와 두 가지 사실 — ① 무게중심은 중선을 2:1로 내분, ② 내분점 공식 — 만으로 공식이 그대로 나옵니다.
1단계 — 변 BC의 중점 M 구하기
중선 AM의 한쪽 끝점인 변 BC의 중점 M은
M = ( (x₂ + x₃) / 2 , (y₂ + y₃) / 2 )
2단계 — 무게중심은 중선 AM을 2:1로 내분
G는 꼭짓점 A에서 중점 M 쪽으로 AG : GM = 2 : 1인 점입니다. 즉 선분 AM을 2:1로 내분하는 점입니다.
3단계 — 내분점 공식 대입
x좌표: (2 · M의 x + 1 · A의 x) / (2 + 1) = ( 2 · (x₂+x₃)/2 + x₁ ) / 3 = (x₁ + x₂ + x₃) / 3
y좌표: (2 · M의 y + 1 · A의 y) / (2 + 1) = ( 2 · (y₂+y₃)/2 + y₁ ) / 3 = (y₁ + y₂ + y₃) / 3
분모의 2가 중점의 분모 2와 약분되어, 결국 세 꼭짓점 좌표를 모두 더해 3으로 나눈 값이 됩니다. 어느 꼭짓점을 A로 두고 시작해도 결과는 같습니다.
적용 예제
예제 1. 세 꼭짓점 좌표로 무게중심 구하기 (공식 직접 대입)
세 점 A(1, 2), B(4, 6), C(−2, 1)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표를 구하시오.
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y좌표: (2 + 6 + 1) / 3 = 9 / 3 = 3
따라서 무게중심 G(1, 3)
예제 2. 무게중심 조건으로 미지수 구하기 (유형14 대표)
세 점 A(a, 1), B(2a, 5), C(−3, b)를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심이 G(1, b)일 때, ab의 값을 구하시오.
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3a − 3 = 3 ⟹ 3a = 6 ⟹ a = 2
y좌표 조건 — (1 + 5 + b) / 3 = b
6 + b = 3b ⟹ 2b = 6 ⟹ b = 3
따라서 ab = 2 × 3 = 6
⚠ 자주 나오는 실수
- 세 좌표를 더한 뒤 2가 아니라 3으로 나눈다는 점 — 무게중심은 ‘꼭짓점이 3개’이므로 분모가 3입니다. (중점과 헷갈려 2로 나누지 않기)
- x좌표끼리, y좌표끼리만 더할 것 — x와 y를 섞어 더하는 실수 주의.
- 미지수가 든 좌표일 때 x조건·y조건을 따로 세워 두 식으로 풀기. 한 식만 세우고 끝내지 않기.
이 개념, 직접 풀어볼까요?
아래 연산연습으로 무게중심 좌표 계산을 손에 익혀 보세요.
P-무게중심01 · 세 꼭짓점 → 무게중심 좌표 계산 P-무게중심02 · 중선을 2:1로 내분하는 점 계산 P-무게중심03 · 무게중심 조건으로 미지수 구하기