삼각형의 꼭짓점 역산법 — 중점 좌표로 꼭짓점 구하기

📌 핵심 — 중점 공식을 ‘거꾸로’ 써서 꼭짓점 찾기

① 한 끝점과 중점을 알 때 (나머지 끝점 역산)

선분 AB의 중점이 M(m₁, m₂)이고 한 끝점 A(a₁, a₂)를 알면, 나머지 끝점 B는

B = (2m₁ − a₁, 2m₂ − a₂)

② 세 변의 중점을 알 때 (세 꼭짓점 한 번에 역산)

변 AB, BC, CA의 중점을 각각 D, E, F라 하면

A = D − E + F, B = D + E − F, C = −D + E + F

※ 어떤 꼭짓점을 구하든 그 꼭짓점이 들어 있지 않은 변의 중점(=마주 보는 변의 중점)을 뺀다. A는 변 BC에 없으므로 E를 뺀다.

⚡ 단축식 — 꼭짓점의 ‘합’만 물으면:
A + B + C = D + E + F (세 꼭짓점의 합 = 세 변 중점의 합). 개별 꼭짓점을 구하지 말고 중점만 더하면 끝.

왜 성립할까? — 중점 공식 뒤집기

1단계 · 중점 공식을 등식으로 본다. 두 점 A(a₁, a₂), B(b₁, b₂)의 중점 M은

M = ( (a₁ + b₁) / 2, (a₂ + b₂) / 2 )

2단계 · b에 대해 푼다. x좌표 식 m₁ = (a₁ + b₁)/2 의 양변에 2를 곱하면 2m₁ = a₁ + b₁, 따라서

b₁ = 2m₁ − a₁, b₂ = 2m₂ − a₂

이것이 ①번 역산 공식입니다. 중점을 두 배 한 뒤 아는 끝점을 빼면 모르는 끝점이 나옵니다.

3단계 · 세 변 중점 → 꼭짓점 유도. D, E, F가 각각 AB, BC, CA의 중점이므로

D = (A + B)/2, E = (B + C)/2, F = (C + A)/2

세 식을 좌표(벡터)처럼 더하고 빼면 D − E + F 에서 B와 C가 상쇄됩니다.

D − E + F = (A+B)/2 − (B+C)/2 + (C+A)/2 = 2A/2 = A

같은 방법으로 B = D + E − F, C = −D + E + F.

4단계 · 합 공식 유도. 세 중점을 모두 더하면

D + E + F = (A+B)/2 + (B+C)/2 + (C+A)/2 = (2A + 2B + 2C)/2 = A + B + C

요령. x좌표끼리, y좌표끼리 따로 계산하면 부호 실수가 줄어듭니다. 분모 2는 양변에 곱해 먼저 없애세요.

예제 1. 한 꼭짓점과 중점으로 나머지 꼭짓점 구하기

선분 AB에서 A(2, 3)이고 중점이 M(5, 1)일 때, 끝점 B의 좌표를 구하여라.

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역산 공식 B = (2m₁ − a₁, 2m₂ − a₂)에 대입합니다.

B_x = 2·5 − 2 = 8, B_y = 2·1 − 3 = −1

∴ B(8, −1)

검산: A(2,3)과 B(8,−1)의 중점 = ((2+8)/2, (3−1)/2) = (5, 1) ✓

예제 2. 세 변의 중점으로 세 꼭짓점 · 꼭짓점 합 구하기

삼각형 ABC에서 세 변 AB, BC, CA의 중점이 각각 D(1, 2), E(3, 4), F(−1, 0)이다. 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표와, 세 꼭짓점의 x좌표 · y좌표의 합을 각각 구하여라.

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(1) 합 먼저 — 단축식. 꼭짓점의 합은 중점의 합과 같으므로

x좌표의 합 = 1 + 3 + (−1) = 3, y좌표의 합 = 2 + 4 + 0 = 6

(2) 개별 꼭짓점. 마주 보는 변의 중점을 빼는 규칙으로:

A = D − E + F = (1−3−1, 2−4+0) = (−3, −2)

B = D + E − F = (1+3+1, 2+4−0) = (5, 6)

C = −D + E + F = (−1+3−1, −2+4+0) = (1, 2)

검산: A+B+C = (−3+5+1, −2+6+2) = (3, 6) → (1)의 합과 일치 ✓

⚠ 자주 나오는 실수

역산 공식을 B = 2M − A 가 아니라 B = M − 2A 나 (M−A)/2 로 잘못 세우는 경우. 중점은 두 배 한 뒤 빼는 것이 핵심.
세 변 중점에서 꼭짓점을 구할 때 어느 중점을 뺄지 헷갈리는 실수. 구하려는 꼭짓점이 들어 있지 않은 변의 중점을 뺀다(A↔E, B↔F, C↔D).
꼭짓점의 합만 묻는데 개별 좌표를 다 구하는 헛수고. “합”이면 곧장 중점들의 합으로 끝낸다.