무게중심의 성질 — 중선을 2:1로 내분하는 점

📌 무게중심의 성질 — 중선을 2:1로 내분

삼각형의 무게중심 G는 세 중선(한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 잇는 선분)이 만나는 한 점이며, 각 중선을 꼭짓점에서부터 2 : 1로 내분합니다.

변 BC의 중점을 M이라 하면 → AG : GM = 2 : 1

왜 2 : 1로 내분될까? — 좌표로 확인하기

세 꼭짓점을 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)이라 하고, 무게중심 공식이 “중선의 2:1 내분점”에서 나온다는 것을 직접 확인해 봅니다.

① 변 BC의 중점 M 구하기

M = ( (x₂ + x₃) / 2 , (y₂ + y₃) / 2 )

② 중선 AM을 꼭짓점 A에서부터 2 : 1로 내분 (내분점 공식 m : n = 2 : 1 적용)

G = ( (1·x₁ + 2·x_M) / 3 , (1·y₁ + 2·y_M) / 3 )

③ x_M = (x₂ + x₃)/2 를 대입

G_x = ( x₁ + 2 · (x₂ + x₃)/2 ) / 3 = ( x₁ + x₂ + x₃ ) / 3

G_y = ( y₁ + y₂ + y₃ ) / 3

➡ 2:1 내분점으로 계산한 좌표가 무게중심 공식 ( (x₁+x₂+x₃)/3 , (y₁+y₂+y₃)/3 )과 정확히 일치합니다. 즉 무게중심은 각 중선을 꼭짓점에서 2 : 1로 내분합니다.

예제 1. 꼭짓점 A와 변 BC의 중점으로 무게중심 구하기

꼭짓점 A(1, 3)과 변 BC의 중점 M(−2, 6)이 주어졌을 때, 무게중심 G의 좌표는?

G는 중선 AM을 A에서 2:1로 내분하므로

G = ( (1 + 2·(−2)) / 3 , (3 + 2·6) / 3 ) = ( −3/3 , 15/3 ) = (−1, 5)

따라서 G(−1, 5).

예제 2. 무게중심으로 중점 M 역산하기

꼭짓점 A(2, 6), 무게중심 G(2, 2)일 때, 변 BC의 중점 M의 좌표는?

AG : GM = 2 : 1 이므로 M − A = (3/2)(G − A)

M = (2, 6) + (3/2)(0, −4) = (2, 6) + (0, −6) = (2, 0)

검산: AG = 4, GM = 2 → 4 : 2 = 2 : 1 ✔

⚠ 자주 나오는 실수

• 내분 비율의 방향 혼동 — 꼭짓점 쪽이 2, 중점 쪽이 1입니다. AG : GM = 1 : 2 로 거꾸로 쓰지 않도록 주의하세요.

• M으로부터 잴 때는 GM : GA = 1 : 2 가 되므로, 어느 점에서부터 재는지 꼭 확인하세요.