📌 핵심 — 중점을 알면 꼭짓점을 거꾸로 구한다
삼각형 ABC에서 세 변 AB, BC, CA의 중점을 각각 D, E, F라 하면, 중점 공식에서 다음이 성립합니다.
D = (A+B)/2, E = (B+C)/2, F = (C+A)/2
이 세 식을 더하거나 빼면 꼭짓점을 역산할 수 있습니다.
- 꼭짓점 역산 A = D + F − E, B = D + E − F, C = E + F − D
- 꼭짓점 합 = 중점 합 A + B + C = D + E + F
⚡ 외우는 요령 — 구하려는 꼭짓점에 붙어 있는 두 변의 중점은 더하고, 마주 보는 변의 중점은 뺀다.
예) 꼭짓점 A는 변 AB·CA에 붙어 있으니 그 중점 D·F를 더하고, 마주 보는 변 BC의 중점 E를 뺀다 → A = D + F − E
아래 문제로 중점 공식 거꾸로 적용 → 꼭짓점 좌표 또는 좌표 합 구하기의 흐름을 손에 익혀 보세요. 어느 중점이 어느 변의 것인지 대응 관계를 정확히 따지는 게 핵심입니다.
기본형 — 세 중점으로 꼭짓점 역산
기본 1. 삼각형 ABC의 세 변 AB, BC, CA의 중점이 각각 D(1, 2), E(4, 3), F(2, 5)일 때, 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 구하시오.
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역산 공식에 대입한다.
A = D + F − E = (1+2−4, 2+5−3) = (−1, 4)
B = D + E − F = (1+4−2, 2+3−5) = (3, 0)
C = E + F − D = (4+2−1, 3+5−2) = (5, 6)
검산: AB의 중점 = ((−1+3)/2, (4+0)/2) = (1, 2) = D ✓
∴ A(−1, 4), B(3, 0), C(5, 6)
기본 2. 삼각형 ABC의 세 변의 중점이 D(2, 1), E(3, 4), F(−1, 2)일 때, 세 꼭짓점의 x좌표의 합과 y좌표의 합을 각각 구하시오.
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꼭짓점을 일일이 구할 필요 없이 A + B + C = D + E + F 를 쓴다.
x좌표의 합 = 2 + 3 + (−1) = 4
y좌표의 합 = 1 + 4 + 2 = 7
∴ x좌표의 합 = 4, y좌표의 합 = 7
기본 3. 삼각형 ABC의 세 변 AB, BC, CA의 중점이 각각 D(0, 3), E(2, −1), F(5, 4)일 때, 꼭짓점 A의 좌표를 구하시오.
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꼭짓점 A는 변 AB·CA에 붙어 있으므로 그 중점 D·F를 더하고, 마주 보는 변 BC의 중점 E를 뺀다.
A = D + F − E = (0+5−2, 3+4−(−1)) = (3, 8)
참고: B = D+E−F = (−3, −2), C = E+F−D = (7, 0) → AB의 중점 (0, 3) = D ✓
∴ A(3, 8)
응용형 — 미지수·꼭짓점 조건이 섞인 역산
응용 1. 삼각형 ABC의 세 변 AB, BC, CA의 중점이 각각 D(a, 4), E(3, b), F(−1, 1)이고 꼭짓점 A(2, 2)일 때, a + b의 값을 구하시오.
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A = D + F − E 를 성분별로 세운다.
x: a + (−1) − 3 = 2 → a − 4 = 2 → a = 6
y: 4 + 1 − b = 2 → 5 − b = 2 → b = 3
∴ a + b = 6 + 3 = 9
응용 2. 삼각형 ABC에서 꼭짓점 A(5, 3)이고, 두 변 AB, AC의 중점을 각각 M, N이라 하자. 두 점 M, N의 x좌표의 합이 0, y좌표의 합이 7일 때, 세 꼭짓점의 x좌표의 합과 y좌표의 합을 각각 구하시오.
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M은 AB의 중점, N은 AC의 중점이므로
M = (A+B)/2, N = (A+C)/2 → M + N = (2A + B + C)/2
x좌표: Mₓ + Nₓ = (2·5 + Bₓ + Cₓ)/2 = 0 → 10 + Bₓ + Cₓ = 0 → Bₓ + Cₓ = −10
∴ Aₓ + Bₓ + Cₓ = 5 + (−10) = −5
y좌표: M_y + N_y = (2·3 + B_y + C_y)/2 = 7 → 6 + B_y + C_y = 14 → B_y + C_y = 8
∴ A_y + B_y + C_y = 3 + 8 = 11
∴ x좌표의 합 = −5, y좌표의 합 = 11
⚠️ 자주 나오는 실수
- 중점과 변의 대응을 헷갈린다. “AB의 중점”인지 “BC의 중점”인지 먼저 라벨을 붙여 놓고 역산 공식(A = D+F−E)을 적용하세요. 변과 중점의 짝을 잘못 맞추면 부호가 통째로 어긋납니다.
- 역산 공식의 부호를 거꾸로 쓴다. 더하는 두 중점은 구하려는 꼭짓점에 붙은 변, 빼는 한 중점은 마주 보는 변입니다. 헷갈리면 D=(A+B)/2 식을 직접 세워 연립하면 확실합니다.
- 합만 물었는데 꼭짓점을 다 구한다. “좌표의 합”만 묻는 문제는 A+B+C = D+E+F 한 줄로 끝납니다. 굳이 세 꼭짓점을 모두 구하느라 시간을 낭비하지 마세요.