📌 핵심 정리 — 중점·내분점으로 꼭짓점 역산하기
삼각형 ABC에서 세 변 BC, CA, AB의 중점을 각각 D, E, F라 하면, 세 꼭짓점은 다음과 같이 역으로 구할 수 있다.
A = E + F − D / B = F + D − E / C = D + E − F
또한 세 변의 중점(또는 같은 비율로 내분한 점)으로 만든 삼각형의 무게중심은 원래 삼각형 ABC의 무게중심과 항상 같다.
→ G = ( (x₁+x₂+x₃)/3 , (y₁+y₂+y₃)/3 ) : 꼭짓점으로 계산하든, 세 중점으로 계산하든 결과가 같다.
공식은 왜 성립할까?
① 중점의 정의를 좌표로 쓴다.
D=(B+C)/2, E=(C+A)/2, F=(A+B)/2 (각 좌표를 벡터처럼 묶어서 다룬다)
② 두 중점을 더하면 꼭짓점이 보인다.
E + F = (C+A)/2 + (A+B)/2 = A + (B+C)/2 = A + D
∴ A = E + F − D (같은 방법으로 B, C도 구해진다)
③ 세 중점을 모두 더하면 무게중심이 보존된다.
D + E + F = (B+C)/2 + (C+A)/2 + (A+B)/2 = A + B + C
∴ (D+E+F)/3 = (A+B+C)/3 = G → 중점삼각형 DEF와 ABC의 무게중심이 일치한다.
④ 내분점으로 일반화.
세 변을 모두 같은 비율 m:n으로 내분한 점 P, Q, R에 대해 P+Q+R = A+B+C가 되어, 마찬가지로 무게중심이 그대로 보존된다.
적용 예제
예제 1. 세 변의 중점으로 무게중심 구하기
삼각형의 세 변의 중점이 P(1, 3), Q(0, 1), R(2, 2)일 때, 무게중심 (a, b)에서 a+b를 구하시오.
풀이. 무게중심은 세 중점의 평균으로 바로 구한다.
a = (1+0+2)/3 = 1, b = (3+1+2)/3 = 2 → (a, b) = (1, 2)
∴ a + b = 3
예제 2. 세 변의 중점으로 세 꼭짓점 역산하기
변 BC, CA, AB의 중점이 각각 D(1, 3), E(0, 1), F(2, 2)일 때, 세 꼭짓점 A, B, C의 좌표를 구하시오.
풀이.
A = E + F − D = (0+2−1, 1+2−3) = (1, 0)
B = F + D − E = (2+1−0, 2+3−1) = (3, 4)
C = D + E − F = (1+0−2, 3+1−2) = (−1, 2)
검산: BC의 중점 (1,3)=D ✓, CA의 중점 (0,1)=E ✓, AB의 중점 (2,2)=F ✓
⚠ 자주 나오는 실수
• 꼭짓점 역산에서는 D, E, F가 각각 어느 변(BC·CA·AB)의 중점인지 대응을 정확히 맞춰야 한다. (무게중심만 구할 땐 대응이 달라도 결과는 같다.)
• 내분점으로 만든 삼각형이 원래 삼각형과 무게중심이 같으려면 세 변을 모두 같은 비율로 내분해야 한다. 비율이 다르면 성립하지 않는다.
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