📌 이 유형, 수능에서 어디에 쓰이나
‘두 점으로부터 같은 거리에 있는 점(AP=BP)’은 평면좌표 단원의 대표 유형이자, 이후 단원으로 끝없이 변형·확장되는 핵심 엔진입니다. AP=BP를 만족하는 점들의 자취가 곧 선분 AB의 수직이등분선이고, 여기에 조건을 하나 더 얹으면 삼각형의 외심(세 꼭짓점에서 등거리), 범위로 풀면 원의 방정식으로 이어집니다.
특히 이 문제는 등거리 조건의 점을 직선 y=−x 위에서 찾는다는 점이 포인트입니다. x축·y축 위의 점(좌표 하나가 0)보다 한 단계 위인 일반 직선 y=mx+n 위의 점을 미지수 하나로 설정하는 감각을 평가하는데, 이 처리법은 이후 직선의 방정식·자취의 방정식·도형의 이동에서 그대로 재사용됩니다. 고득점의 갈림길은 계산이 아니라 “직선 위의 점을 어떻게 한 문자로 잡느냐”입니다.
🎯 출제의도와 풀이 핵심 맥락
출제의도 — ‘두 점에서 같은 거리’라는 말 조건을 식으로 옮기고, 그 점을 직선 위의 점으로 설정한 뒤 양변을 제곱해 무리식을 없애는 표준 절차를 정확히 밟을 수 있는지 평가합니다. 마지막에 원점까지의 거리(OP)까지 구하게 하여 거리 공식의 왕복 적용을 한 문제에 담았습니다.
풀이 핵심 흐름 —
- 점 설정 — 점 P는 직선 y=−x 위의 점이므로 P(a, −a)로 두어 미지수를 1개로 줄인다.
- 조건의 번역 — “두 점에서 같은 거리” = AP=BP. 거리 공식으로 두 식을 세운다.
- 무리식 제거 — AP=BP의 양변을 제곱(AP²=BP²)하면 이차항이 소거되어 a에 대한 일차방정식으로 환원된다.
- 마무리 — 구한 좌표로 OP를 거리 공식(또는 피타고라스)으로 계산한다.
💡 실수 방지 — 직선 위의 점을 (a, b)처럼 미지수 두 개로 잡으면 식이 꼬입니다. 직선식 y=−x를 좌표에 미리 반영해 P(a, −a) 한 문자로 두는 것이 시간 단축의 핵심입니다.
🔑 풀이에 필요한 핵심 개념
아래 개념이 약하면 먼저 다지고 오세요. (클릭 시 정리 포스트로 이동)
- 직선 위의 점 좌표 설정법 — y=−x 위의 점을 (a, −a)로 두는 한 문자 설정
- 등거리 조건 AP=BP의 양변 제곱 — 무리식을 일차식으로 환원하는 처리
- 원점까지의 거리 OP 구하기 — 좌표가 정해진 뒤 거리 공식·피타고라스 적용
- 연결 개념(심화) — AP=BP인 점의 자취는 선분 AB의 수직이등분선이며, 조건이 하나 더 붙으면 외심으로 확장됩니다.
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