📈 수능 고득점을 위한 단원 분석
‘평면좌표’ 단원에서 두 점 사이의 거리는 단독으로 묻기보다, 이차함수·직선·원의 방정식·도형의 성질과 결합되어 고난도로 출제되는 핵심 도구입니다. 특히 이 문제처럼 ‘두 점으로부터 같은 거리에 있는 점’ 유형은 거리가 같다 → 양변을 제곱한다 → 방정식을 세운다는 사고 흐름이 핵심인데, 이 흐름은 그대로 원의 방정식(중심에서 등거리), 수직이등분선, 자취의 방정식으로 확장됩니다.
즉 수능·모의고사에서 이 유형은 단순 거리 계산이 아니라, “좌표를 미지수로 설정해 식을 세우는 능력”을 변별하는 장치로 쓰입니다. 이번 문제는 여기에 이차함수와 직선의 교점(연립이차방정식)까지 얹어, 여러 단원의 도구를 한 번에 동원하도록 설계된 TOUGH 난도 문항입니다.
🎯 출제의도와 풀이 핵심 맥락
출제의도는 두 가지를 동시에 평가하는 데 있습니다. 첫째, 두 그래프의 교점을 연립으로 구하는 능력, 둘째, 등거리 조건을 식으로 옮겨 정리하는 계산 전략입니다.
풀이의 큰 줄기는 다음과 같습니다.
- 두 그래프의 교점 A, B를 구한다 → (이차식)=(일차식) 꼴의 이차방정식을 인수분해.
- 곡선 위의 점 P를 P(a, a²+4a−5)처럼 하나의 미지수 a로 설정한다.
- 조건 AP=BP를 AP²=BP²으로 바꿔 제곱근(무리식)을 제거한다.
- 여기가 진짜 핵심. a²+4a−5 같은 복잡한 식을 그대로 전개하지 말고, 합차공식 A²−B²=(A+B)(A−B)로 묶어 계산량을 폭발적으로 줄인다.
- 정리된 이차방정식을 근의 공식으로 풀고, ‘x좌표는 음수’라는 단서로 답을 하나로 결정한다. (정답 ③)
실수 포인트는 4단계입니다. 식을 무작정 전개하면 사칙연산이 길어져 부호 실수가 나기 쉽습니다. “복잡한 덩어리는 통째로 두고 합·차로 묶는다”는 감각이 이 문제의 시간을 가릅니다.
🔑 풀이에 필요한 핵심 개념 키워드
이 문제를 풀려면 아래 개념들이 손에 익어 있어야 합니다. (클릭하면 개념정리로 이동)
- 두 점 사이의 거리 공식 — 거리를 식으로 옮기는 출발점.
- 이등거리 조건 AP=BP의 처리(양변 제곱) — 이 유형의 척추가 되는 변형.
- 곡선·직선 위의 점 좌표 설정법 — 점 P를 한 문자로 잡는 기술.
아래는 이 단원 밖에서 끌어와야 하는, 계산을 좌우하는 도구들입니다.
- 곱셈공식 — 합차공식 a²−b²=(a+b)(a−b) (다항식) : 전개 폭주를 막는 결정타.
- 이차방정식의 근의 공식 (방정식과 부등식) : 마지막 a값 도출.
- 이차함수와 직선의 교점 = 연립이차방정식 (함수) : A, B 좌표 확보.
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