평면좌표 유형02 · 두 점으로부터 같은 거리에 있는 점 NORMAL 최다빈출 · 왕중요
📌 이 유형, 수능에서 어디로 이어지나
등거리 조건(두 점에서 같은 거리)은 평면좌표 단독 문제로는 가볍지만, 수능·내신 고득점의 길목에서는 반복해서 변형됩니다. 핵심은 “두 점에서 같은 거리에 있는 점들의 자취는 그 선분의 수직이등분선”이라는 사실이며, 이는 다음으로 확장됩니다.
- 도형의 방정식 → 자취·원의 방정식 : 등거리 조건이 자취의 방정식, 원의 중심 찾기로 직접 연결됩니다.
- 삼각형의 외심 : 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 점 = 외심. 등거리 식 세우기가 그대로 외심 좌표 계산이 됩니다.
- 최단거리·반사 문제 : 거리 비교 감각이 직선·좌표 결합형 고난도 문항의 기초가 됩니다.
고득점 포인트 2가지 ① 거리 비교는 절대 √ 상태로 풀지 말고 양변을 제곱해 무리식을 즉시 소거할 것. ② 직선 위의 점은 미지수 1개로 좌표를 설정해(예: y=2x+1 위의 점 ⇒ b=2a+1) 변수 수를 줄일 것.
🎯 출제의도와 풀이 핵심 맥락
이 문항은 두 가지 능력을 한 번에 점검합니다. 첫째, 직선 위의 점을 한 문자로 표현하는 능력(점이 직선 위에 있으면 직선의 식에 대입 ⇒ 좌표 사이 관계식). 둘째, 등거리 조건 AP = BP를 거리공식으로 세우고 제곱하여 무리식을 소거하는 능력입니다.
풀이의 흐름은 다음과 같습니다.
- P가 직선 위에 있으므로 b = 2a + 1 로 변수를 하나 줄인다.
- AP = BP ⇒ AP² = BP² 로 바꿔 √를 제거한다.
- 전개하면 a²항이 양변에서 소거되어 일차방정식(24a = 48) 으로 정리된다.
- a = 2 ⇒ b = 5 ⇒ a + b = 7 (정답 ①)
💡 이 유형의 결정적 한 수 — 제곱하는 순간 이차항이 사라지며 “복잡해 보이던 무리식”이 단순한 일차방정식으로 무너진다는 점. 이 구조를 미리 알고 있으면 계산 전부터 답의 형태를 예측할 수 있습니다.
🔑 풀이에 필요한 핵심 개념
아래 개념이 막히면 이 문제는 풀리지 않습니다. 약한 부분을 바로 점검하세요.
- 두 점 사이의 거리 공식 — 거리 비교의 출발점.
- 등거리 조건 AP=BP, 양변 제곱으로 좌표 구하기 — 무리식 소거 테크닉.
- 직선 위의 점 좌표 설정법 — 미지수 1개로 좌표 잡기.
이 밖에 선행 계산 도구로 완전제곱식 전개(곱셈공식) 와 일차방정식 풀이 가 정확해야 마지막 24a = 48 단계에서 실수하지 않습니다.
▶️ 해설 동영상
🎬 해설 영상은 준비 중입니다. 업로드되면 이 자리에 임베드됩니다.
🖼️ 해설 이미지
