📌 이 유형, 수능 고득점에서 왜 중요한가
두 점으로부터 같은 거리에 있는 점은 「평면좌표」 단원에서 거리 공식을 조건식으로 끌어올리는 첫 관문입니다. 두 점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임은 곧 두 점을 잇는 선분의 수직이등분선이라는 사실 때문에, 이 유형은 단순 계산을 넘어 수직이등분선·원의 방정식(중심)·삼각형의 외심·점의 자취로 그대로 확장됩니다.
수능·모의고사에서는 이 조건이 단독으로 나오기보다 원의 방정식, 점과 직선 사이의 거리, 도형의 넓이·최댓값 문제 속에 한 단계로 녹아 출제됩니다. 즉 “같은 거리”라는 말을 AP=BP → 양변 제곱 → 좌표식으로 번역하는 흐름을 손에 익혀 두는 것이 통합형 4점 문항에서 시간을 버는 핵심 길목입니다.
🎯 출제의도와 풀이 핵심 맥락
이 문제의 출제의도는 두 가지 거리 조건을 차례로 식으로 바꿔 미지수를 결정할 수 있는가입니다. 풀이의 결정적 분기점은 다음 두 단계로 정리됩니다.
- ① 등거리 조건을 양변 제곱으로: 두 점에서 같은 거리에 있다는 조건(AP=BP)은 루트가 포함된 무리식이므로, 양변을 제곱(AP²=BP²)해 정리합니다. 이때 공통으로 들어가는 제곱항이 서로 소거되어 한 좌표가 일차식으로 깔끔하게 결정되는 것이 포인트입니다.
- ② 원점까지의 거리(OP) 조건 대입: 남은 좌표는 OP의 길이 조건을 제곱한 식 (OP²=원점에서 점까지 거리의 제곱)에 ①의 결과를 대입해 구합니다. 마지막에 묻는 식의 값은 구한 두 좌표의 제곱을 대입해 곧바로 계산합니다.
실수 포인트는 제곱한 거리(②)에서 곧장 좌표값 자체를 구했다고 착각하지 않는 것입니다. OP² 식은 두 좌표의 제곱의 합을 주므로, ①에서 얻은 값을 대입해야 나머지 좌표의 제곱이 나옵니다.
🔑 풀이에 필요한 핵심 개념 (클릭 시 정리 페이지로 이동)
- 두 점 사이의 거리 공식 — √{(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²}. 모든 거리 조건을 식으로 옮기는 출발 도구
- 등거리 조건 AP=BP · 양변 제곱 — 무리식을 제곱으로 환원해 한 좌표를 일차식으로 결정하는 과정
- 원점까지의 거리(OP) · 피타고라스 — OP²=x²+y² 로 정리해 남은 좌표의 제곱을 구하는 단계
※ 이 외 선수 도구는 곱셈공식·식의 전개(공통수학1)와 제곱근의 계산(중3) 정도입니다. 내심·외심·무게중심 등 별도 개념은 필요하지 않습니다.
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