📌 이 유형, 왜 중요한가 — 평면좌표가 ‘해석기하’의 출발점인 이유
평면좌표 단원은 도형의 성질을 그림이 아닌 좌표와 식으로 바꿔 계산으로 해결하는 ‘해석기하’의 첫 단추입니다. 그중 두 점으로부터 같은 거리에 있는 점 유형은 단독 출제 시에는 단답형 기본 문제지만, 다음과 같은 단원과 결합되면 곧장 4점 고난도로 확장됩니다.
- 원의 방정식 — 한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 집합이 곧 원입니다.
- 직선의 방정식(수직이등분선) — 두 점에서 같은 거리에 있는 점들의 자취가 수직이등분선입니다.
- 삼각형의 외심 — 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 점, 즉 ‘등거리 조건의 3중 적용’입니다.
따라서 이 문제에서 익히는 핵심 도구 — “같은 거리 → 거리식 → 양변 제곱” — 은 단순 계산이 아니라 이후 자취·외심·원 문제를 푸는 공통 엔진입니다. 기본 유형일 때 이 과정을 손에 익혀 두는 것이 고득점의 전제 조건입니다.
🎯 출제의도 & 풀이 핵심 맥락
- 미지수 설정 — 점 P가 x축 위의 점이므로 P(a, 0)으로 두어 미지수를 1개로 줄입니다.
- 조건의 번역 — “두 점에서 같은 거리” = AP = BP. 거리 공식으로 두 식을 세웁니다.
- 무리식 제거 — AP = BP의 양변을 제곱(AP² = BP²)하여 근호를 없애고 a에 대한 일차방정식으로 정리합니다.
- 마무리 — 구한 a로부터 OP = |a|를 계산합니다. (O는 원점)
출제 포인트는 ‘말로 된 조건(같은 거리)을 식으로 옮기는 능력’과 ‘제곱으로 무리식을 다루는 처리력’입니다. 이 두 과정만 정확하면 계산 자체는 간단합니다.
🔑 풀이에 필요한 핵심 개념 (클릭하면 개념정리로 이동)
- 두 점 사이의 거리 공식 — 거리 조건을 식으로 세우는 기본 도구
- 직선(x축·y축) 위의 점 좌표 설정법 — P(a, 0)로 미지수를 1개로 줄이는 출발점
- 등거리 조건 AP = BP의 제곱 처리 — 무리식을 없애 일차방정식으로 만드는 핵심 기술
- 원점까지의 거리 OP 구하기 — 좌표를 거리로 환산하는 마무리 계산
※ 연관 확장 개념: 수직이등분선(등거리점의 자취), 삼각형의 외심(세 점에서 등거리) — 같은 조건이 도형 단원에서 어떻게 재등장하는지 함께 떠올려 두면 좋습니다.
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📚 함께 보면 좋은 개념정리
- 📖 두 점 사이의 거리 공식 — 공식 유도부터 적용까지
- 📖 이등거리 조건 AP=BP — 양변 제곱으로 좌표 구하기
- 📖 직선 위의 점 좌표 설정법 — x축·y축·y=mx+n 위의 점
- 📖 원점까지의 거리(OP) 구하기 — 피타고라스 적용