“
한 점에서 직선에 내린 수선의 발의 좌표를 구하는 대표적인 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 수선의 발 H는 주어진 직선 위의 점입니다. 따라서 H의 좌표를 미지수 a를 이용해 (a, a+1)로 설정할 수 있습니다.
2. (수직 조건) 선분 AH와 주어진 직선은 서로 수직입니다. 따라서 두 직선의 기울기의 곱은 -1이 되어야 합니다.
3. 이 수직 조건을 이용해 a에 대한 방정식을 세워 풀면 점 H의 좌표를 확정할 수 있습니다.
주의할 점:
수선의 발 문제는 (1) 주어진 직선 위의 점이다, (2) 두 직선이 수직이다, 라는 두 가지 조건을 이용해 연립방정식을 푼다는 핵심 원리를 기억하는 것이 중요합니다.
”
수선의 발 좌표와 원점 거리
“
두 직선의 교점을 지나고, 다른 직선에 평행한 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (교점 찾기) 주어진 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표를 구합니다.
2. (기울기 찾기) 평행해야 할 대상 직선(2x+y=10)의 기울기를 구합니다. 평행하므로 기울기는 같습니다.
3. (직선 완성) 1단계에서 구한 교점을 지나고, 2단계에서 구한 기울기를 갖는 직선의 방정식을 세웁니다.
주의할 점:
‘교점을 지난다’는 정보로 직선이 지나는 한 점을, ‘평행하다’는 정보로 직선의 기울기를 얻을 수 있습니다. 두 정보를 조합하여 직선을 완성하는 문제입니다.
”
두 직선 교점과 수직인 직선
“
202번 문제와 동일하게 한 점에서 직선에 내린 수선의 발을 찾는 문제입니다. 최종적으로 원점과의 거리를 묻는 단계가 추가되었습니다.
접근법:
1. (수직 기울기) 주어진 직선의 기울기를 구하고, 그것과 곱해서 -1이 되는 수직 기울기를 찾습니다.
2. (수선 방정식) 점 A(4,7)을 지나고 1단계에서 구한 수직 기울기를 갖는 직선(수선)의 방정식을 구합니다.
3. (교점 찾기) 수선의 발 H는 원래 직선과 수선의 교점입니다. 두 직선의 방정식을 연립하여 H의 좌표를 구합니다.
4. (거리 계산) 원점 O와 점 H 사이의 거리를 구합니다.
주의할 점:
202번과 같이 H의 좌표를 미지수로 설정하는 방법도 있고, 이 풀이처럼 수선의 방정식을 직접 구하는 방법도 있습니다. 두 가지 방법 모두 익혀두는 것이 좋습니다.
”
원점에서 직선까지 가장 가까운 점
“
두 직선의 교점을 지나고, 다른 직선에 수직인 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (교점 찾기) 주어진 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표를 구합니다.
2. (기울기 찾기) 수직이어야 할 대상 직선(x+3y-3=0)의 기울기를 구한 뒤, 그것과 곱해서 -1이 되는 수직 기울기를 찾습니다.
3. (직선 완성) 1단계에서 구한 교점을 지나고, 2단계에서 구한 수직 기울기를 갖는 직선의 방정식을 세웁니다.
주의할 점:
218번 문제의 ‘평행’ 조건이 ‘수직’ 조건으로 바뀐 것 외에는 완전히 동일한 구조입니다. 평행과 수직의 기울기 관계를 명확히 구분해야 합니다.
”
두 직선 교점을 지나는 넓이 이등분선
“
원점에서 직선까지의 거리가 가장 가까운 점, 즉 수선의 발을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원점에서 직선에 가장 가까운 점은, 원점에서 그 직선에 내린 수선의 발입니다.
2. 따라서 원점을 지나는 직선과 주어진 직선이 서로 수직으로 만나야 합니다.
3. 주어진 직선의 기울기를 구하고, 그것과 수직인 직선(원점을 지남)의 기울기를 찾습니다.
4. 원점을 지나고 수직 기울기를 갖는 직선의 방정식을 구합니다.
5. 원래 직선과 수선의 교점을 찾으면, 그것이 구하는 점의 좌표입니다.
주의할 점:
‘가장 가까운 점’이라는 표현이 ‘수선의 발’을 의미한다는 것을 기하학적으로 이해하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
”
교점을 지나는 직선의 수선의 발
“
두 직선의 교점을 지나면서, 그 직선들이 x축과 만나 만드는 삼각형의 넓이를 이등분하는 직선을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 직선의 교점 C의 좌표를 구하고, 각 직선의 x절편 A, B의 좌표를 구합니다.
2. 구하려는 직선은 꼭짓점 C를 지나면서 삼각형 ABC의 넓이를 이등분해야 합니다.
3. 따라서 이 직선은 반드시 마주보는 변 AB의 중점을 지나야 합니다.
4. 선분 AB의 중점 M의 좌표를 구합니다.
5. 두 점 C와 M을 지나는 직선의 방정식을 구하면 됩니다.
주의할 점:
삼각형의 넓이를 이등분하는 직선이 한 꼭짓점을 지난다는 사실을 파악하면, 대변의 중점을 찾아 두 점을 잇는 직선의 방정식을 구하는 문제로 단순화됩니다.
”
교점과 평행 조건을 이용한 y절편
“
두 직선의 교점을 지나고, 원점에서 내린 수선의 발을 찾는 종합 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 주어진 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표를 구합니다.
2. 이 교점과 문제에서 주어진 또 다른 점(2,3)을 지나는 직선 l의 방정식을 구합니다.
3. 원점에서 직선 l에 내린 수선의 발을 찾는 것은, 204번 문제와 동일한 원리를 적용합니다.
4. 원점을 지나면서 직선 l에 수직인 직선의 방정식을 구하고, 두 직선의 교점을 찾습니다.
주의할 점:
여러 단계를 거치는 문제입니다. 교점 구하기 -> 직선의 방정식 구하기 -> 수선의 발 구하기 순서로 차근차근 해결해야 합니다.
”
삼각형의 수심(세 수선의 교점)
“
삼각형의 각 꼭짓점에서 마주보는 변에 내린 세 수선이 만나는 점(수심)의 좌표를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 세 개의 수선 중 계산하기 편한 두 개의 수선의 방정식을 구하면 됩니다.
2. (수선 1) 꼭짓점 A를 지나고 변 BC에 수직인 직선의 방정식을 구합니다.
3. (수선 2) 꼭짓점 C를 지나고 변 AB에 수직인 직선의 방정식을 구합니다.
4. 2단계와 3단계에서 구한 두 수선의 방정식을 연립하여 교점 H의 좌표를 구합니다.
주의할 점:
수심은 외심, 내심, 무게중심과 함께 삼각형의 중요한 점 중 하나입니다. ‘수선의 교점’이라는 정의를 이용해 방정식을 세워 푸는 정석적인 문제입니다.
”
수심의 좌표 구하기
“
206번 문제와 완전히 동일한 유형으로, 삼각형의 수심 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (수선 1) 꼭짓점 A를 지나면서 변 BC에 수직인 직선의 방정식을 구합니다. (BC의 기울기 구하기 -> 수직 기울기 찾기 -> 점 A를 지나는 직선 구하기)
2. (수선 2) 꼭짓점 C를 지나면서 변 AB에 수직인 직선의 방정식을 구합니다. (AB의 기울기 구하기 -> 수직 기울기 찾기 -> 점 C를 지나는 직선 구하기)
3. 두 수선의 방정식을 연립하여 교점을 찾습니다.
주의할 점:
어떤 꼭짓점과 변을 선택하는지에 따라 계산의 복잡도가 달라질 수 있습니다. 좌표에 0이 포함되거나 숫자가 작은 변을 선택하는 것이 유리합니다.
”
세 직선으로 만들어진 삼각형의 수심
“
두 삼각형의 밑변이 공통일 때, 넓이가 같을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 삼각형 OAB와 OAC는 밑변 OA가 공통입니다.
2. 두 삼각형의 넓이가 같으려면, **높이가 같아야** 합니다. 즉, 점 B와 점 C에서 직선 OA까지의 거리가 같아야 합니다.
3. 이는 직선 OA와 직선 BC가 서로 **평행**하다는 것을 의미합니다.
4. 두 직선 OA와 BC의 기울기가 같다고 등식을 세워 점 C의 y좌표를 구합니다.
주의할 점:
넓이가 같다는 조건을 높이가 같다는 조건으로, 다시 평행하다는 조건으로, 최종적으로 기울기가 같다는 조건으로 변환하여 푸는 과정이 핵심입니다.
”
좌표 설정과 수직 조건으로 넓이 구하기
