“
212번 문제와 동일하게, 정점을 지나는 직선의 성질에 대한 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. (보기 ㄱ) k=2를 직접 대입하여 나온 직선의 방정식이 x=상수 형태(y축 평행)인지, y=상수 형태(x축 평행)인지 확인합니다.
2. (보기 ㄴ) k=3을 대입하여 직선의 방정식을 구하고, 주어진 다른 직선과의 수직 여부를 기울기의 곱이 -1인지 확인하여 판단합니다.
3. (보기 ㄷ) k=-1을 대입하여 직선의 방정식을 구하고, 주어진 다른 직선과의 평행/일치 여부를 확인하여 만나는 점이 있는지 판단합니다.
주의할 점:
각 보기는 서로 다른 k값에 대한 특정 상황을 묻고 있습니다. k값을 정확히 대입하여 직선의 방정식을 구하고, 주어진 조건을 만족하는지 확인하면 됩니다.
”
두 정점을 지나는 직선의 관계 판별
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두 개의 정점을 지나는 직선들의 위치 관계에 대한 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
접근법:
1. (보기 ㄱ) a=0일 때의 두 직선 l, m의 방정식을 각각 구하고, 두 직선이 수직인지 기울기를 통해 확인합니다.
2. (보기 ㄴ) 직선 l의 방정식을 미지수 a에 대해 정리하여, a값에 관계없이 항상 지나는 정점의 좌표를 구합니다.
3. (보기 ㄷ) 두 직선 l, m이 평행할 조건을 식으로 세워봅니다. 이 방정식을 만족하는 실수 a값이 존재하는지 확인합니다.
주의할 점:
보기 ㄷ을 풀 때, a=0인 경우와 a≠0인 경우를 나누어 생각해야 합니다. a=0일 때는 ㄱ에서 이미 수직임을 확인했으므로 평행이 아니며, a≠0일 때 평행 조건을 만족하는 실수가 없는지를 보여주면 됩니다.
”
두 직선의 교점을 지나는 직선
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두 직선의 교점과 또 다른 한 점을 지나는 직선의 방정식을 구하는 정석적인 문제입니다.
접근법:
1. (방법 1) 주어진 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표를 직접 구합니다. 그 후, 이 교점과 주어진 점 (-1,1)을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
2. (방법 2) ‘두 직선의 교점을 지나는 직선’의 공식, 즉 (직선1) + k(직선2) = 0 형태를 이용합니다. 이 식에 점 (-1,1)의 좌표를 대입하여 k값을 찾고, k값을 다시 대입하여 직선의 방정식을 완성합니다.
주의할 점:
두 가지 방법 모두 가능하지만, 교점의 좌표가 정수로 깔끔하게 나올 경우 방법 1이 더 직관적이고 빠를 수 있습니다.
”
두 직선 교점과 절편으로 선분 길이 구하기
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215번 문제와 동일하게 두 직선의 교점과 다른 한 점을 지나는 직선을 구한 뒤, 그 직선의 선분 길이를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 두 직선의 교점의 좌표를 연립방정식을 풀어 구합니다.
2. 1단계에서 구한 교점과 점 (2,-1)을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
3. 구한 직선의 x절편(점 A)과 y절편(점 B)을 각각 구합니다.
4. 두 점 A, B 사이의 거리를 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 계산합니다.
주의할 점:
선분 AB의 길이는 x절편과 y절편을 각각 밑변과 높이로 하는 직각삼각형의 빗변 길이와 같으므로, 피타고라스 정리를 이용해 빠르게 구할 수도 있습니다.
”
두 직선 교점과 축으로 둘러싸인 넓이
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이차함수의 접선과 그 접선에 수직인 직선(법선)의 방정식을 구하고, 이를 이용해 삼각형의 넓이를 구하는 종합 문제입니다.
접근법:
1. (접선 구하기) 점 P(1,1)을 지나는 직선이 이차함수에 접하므로, 두 식을 연립한 이차방정식의 판별식 D=0 임을 이용해 접선의 기울기를 찾습니다.
2. (법선 구하기) 법선은 접선과 수직이므로, 접선의 기울기를 이용해 법선의 기울기(음수의 역수)를 구하고 방정식을 세웁니다.
3. (교점/절편 찾기) 접선의 y절편(Q), 법선과 이차함수의 또 다른 교점(R)의 좌표를 각각 구합니다.
4. (넓이 계산) 세 점 P, Q, R의 좌표를 이용해 ‘신발끈 공식’ 등으로 삼각형의 넓이를 구합니다.
주의할 점:
수학II 과정에서는 미분을 사용하지 않으므로, 이차함수의 접선은 판별식을 이용해 구하는 연습이 필요합니다. 계산 과정이 길기 때문에 각 단계별 목표를 명확히 해야 합니다.
”
한 점에서 직선에 내린 수선의 발
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두 직선의 교점을 지나고, 좌표축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 두 직선의 교점의 좌표를 연립방정식으로 구합니다.
2. 1단계에서 구한 교점과 점 (2,-5)를 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
3. 구한 직선의 x절편과 y절편을 찾습니다.
4. 삼각형의 넓이 공식(1/2 * |x절편| * |y절편|)을 이용해 넓이를 구합니다.
주의할 점:
216번 문제와 거의 동일한 흐름의 문제입니다. 각 단계별 계산을 정확히 하는 것이 중요하며, 특히 절편을 구할 때 부호에 유의해야 합니다.
”
두 직선 교점과 평행한 직선
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한 점에서 직선에 내린 수선의 발의 좌표를 구하는 대표적인 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 수선의 발 H는 주어진 직선 위의 점입니다. 따라서 H의 좌표를 미지수 a를 이용해 (a, a+1)로 설정할 수 있습니다.
2. (수직 조건) 선분 AH와 주어진 직선은 서로 수직입니다. 따라서 두 직선의 기울기의 곱은 -1이 되어야 합니다.
3. 이 수직 조건을 이용해 a에 대한 방정식을 세워 풀면 점 H의 좌표를 확정할 수 있습니다.
주의할 점:
수선의 발 문제는 (1) 주어진 직선 위의 점이다, (2) 두 직선이 수직이다, 라는 두 가지 조건을 이용해 연립방정식을 푼다는 핵심 원리를 기억하는 것이 중요합니다.
”
수선의 발 좌표와 원점 거리
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두 직선의 교점을 지나고, 다른 직선에 평행한 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (교점 찾기) 주어진 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표를 구합니다.
2. (기울기 찾기) 평행해야 할 대상 직선(2x+y=10)의 기울기를 구합니다. 평행하므로 기울기는 같습니다.
3. (직선 완성) 1단계에서 구한 교점을 지나고, 2단계에서 구한 기울기를 갖는 직선의 방정식을 세웁니다.
주의할 점:
‘교점을 지난다’는 정보로 직선이 지나는 한 점을, ‘평행하다’는 정보로 직선의 기울기를 얻을 수 있습니다. 두 정보를 조합하여 직선을 완성하는 문제입니다.
”
두 직선 교점과 수직인 직선
“
202번 문제와 동일하게 한 점에서 직선에 내린 수선의 발을 찾는 문제입니다. 최종적으로 원점과의 거리를 묻는 단계가 추가되었습니다.
접근법:
1. (수직 기울기) 주어진 직선의 기울기를 구하고, 그것과 곱해서 -1이 되는 수직 기울기를 찾습니다.
2. (수선 방정식) 점 A(4,7)을 지나고 1단계에서 구한 수직 기울기를 갖는 직선(수선)의 방정식을 구합니다.
3. (교점 찾기) 수선의 발 H는 원래 직선과 수선의 교점입니다. 두 직선의 방정식을 연립하여 H의 좌표를 구합니다.
4. (거리 계산) 원점 O와 점 H 사이의 거리를 구합니다.
주의할 점:
202번과 같이 H의 좌표를 미지수로 설정하는 방법도 있고, 이 풀이처럼 수선의 방정식을 직접 구하는 방법도 있습니다. 두 가지 방법 모두 익혀두는 것이 좋습니다.
”
원점에서 직선까지 가장 가까운 점
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두 직선의 교점을 지나고, 다른 직선에 수직인 직선의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (교점 찾기) 주어진 두 직선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표를 구합니다.
2. (기울기 찾기) 수직이어야 할 대상 직선(x+3y-3=0)의 기울기를 구한 뒤, 그것과 곱해서 -1이 되는 수직 기울기를 찾습니다.
3. (직선 완성) 1단계에서 구한 교점을 지나고, 2단계에서 구한 수직 기울기를 갖는 직선의 방정식을 세웁니다.
주의할 점:
218번 문제의 ‘평행’ 조건이 ‘수직’ 조건으로 바뀐 것 외에는 완전히 동일한 구조입니다. 평행과 수직의 기울기 관계를 명확히 구분해야 합니다.
”
두 직선 교점을 지나는 넓이 이등분선
