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좌표를 설정하여 도형 문제를 대수적으로 해결하고, 두 직선의 수직 조건을 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 문제의 도형을 풀기 쉽게 좌표평면 위에 배치합니다. (예: 점 B를 원점으로)
2. 각 점 A, B, C, D, P의 좌표를 미지수 또는 상수로 표현합니다.
3. 두 직선 AC와 BP의 방정식을 각각 구합니다.
4. 두 직선이 서로 수직이므로, **기울기의 곱이 -1**이라는 조건을 이용해 미지수 값을 확정합니다.
5. 필요한 점들의 좌표를 모두 구한 뒤, 삼각형 AQD의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
도형 문제를 어떤 위치에 좌표를 설정하는지에 따라 계산의 복잡도가 크게 달라집니다. 수직, 평행 조건이 많은 경우, 변을 좌표축 위에 놓는 것이 유리합니다.
”
교점 좌표로 삼각형 넓이 구하기
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삼각형의 넓이를 구하는 여러 방법 중, 한 변의 길이와 그 변에 대한 높이를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형의 세 꼭짓점 C, B, D의 좌표를 먼저 구해야 합니다.
2. 점 C는 주어진 직선의 x절편, 점 B는 문제에 주어진 점, 점 D는 두 직선의 교점입니다. 연립방정식을 통해 D의 좌표를 구합니다.
3. 세 점의 좌표를 알았으므로, 밑변으로 삼을 한 변(예: 선분 CB)의 길이를 구합니다.
4. 밑변을 포함하는 직선(x축)과 나머지 한 꼭짓점 D 사이의 거리(높이)를 구합니다.
5. 삼각형 넓이 공식을 이용해 답을 계산합니다.
주의할 점:
신발끈 공식을 이용하면 세 꼭짓점의 좌표만으로 바로 넓이를 구할 수도 있습니다. 하지만 정석적인 풀이는 변의 길이와 높이를 이용하는 것입니다.
”
넓이가 같을 조건과 평행선
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넓이가 같을 조건을 이용하여 x축 위의 점 좌표를 찾는 문제입니다. 192번 문제와 유사한 원리를 사용합니다.
접근법:
1. 두 삼각형 ABD와 ABC는 밑변 AB가 공통입니다.
2. 넓이가 같으려면 **높이가 같아야** 합니다. 즉, 점 D에서 직선 AB까지의 거리와 점 C에서 직선 AB까지의 거리가 같아야 합니다.
3. 이는 직선 CD가 직선 AB와 **평행**하다는 것을 의미합니다.
4. 직선 AB의 기울기를 구하고, 점 C를 지나면서 이와 평행한 직선 CD의 방정식을 구합니다.
5. 점 D는 x축 위의 점이므로, 구한 직선의 방정식에 y=0을 대입하여 x좌표 a를 구합니다.
주의할 점:
밑변이 공통인 두 삼각형의 넓이가 같으면, 두 꼭짓점을 이은 선분은 밑변과 평행하다는 기하학적 성질을 이용하는 것이 핵심입니다.
”
정삼각형과 무게중심, 수직 조건
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정삼각형의 기하학적 성질과 무게중심, 그리고 수직 조건을 종합적으로 활용하는 문제입니다.
접근법:
1. 정삼각형의 무게중심은 꼭짓점과 대변의 중점을 이은 중선(이자 높이) 위에 있습니다. 즉, 직선 AG는 변 BC와 수직입니다.
2. 무게중심이 원점이므로, 직선 AG의 방정식(y=3x)을 알 수 있습니다.
3. 직선 BC는 직선 AG와 수직이므로, 기울기는 -1/3 입니다.
4. 무게중심은 중선을 2:1로 내분하므로, OA=2OM (M은 BC의 중점) 입니다. 이를 이용해 M의 좌표를 구합니다.
5. 점 M을 지나고 기울기가 -1/3인 직선 BC의 방정식을 구합니다.
주의할 점:
정삼각형의 다양한 성질(무게중심=외심, 중선=높이=수직이등분선)을 적극적으로 활용해야 풀이가 간결해집니다.
”
마름모의 대각선은 수직이등분
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두 직선이 특정 점에서 수직으로 만날 조건을 이용해 모든 미정계수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (교점 조건) 두 직선 모두 점 (2,4)를 지나므로, 각 방정식에 이 좌표를 대입하여 미지수 사이의 관계식을 얻습니다.
2. (수직 조건) 두 직선이 서로 수직이므로, 기울기의 곱이 -1입니다. (또는 일반형에서 aa’+bb’=0)
3. 1, 2 단계에서 얻은 식들을 연립하여 모든 미지수 a, b, c의 값을 구합니다.
주의할 점:
하나의 조건(‘점에서 수직으로 만난다’) 안에 ‘점을 지난다’와 ‘수직이다’라는 두 가지 정보가 모두 포함되어 있음을 파악해야 합니다.
”
수직인 직선의 y절편 조건
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마름모의 가장 중요한 성질인 ‘두 대각선이 서로를 수직이등분한다’를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 직선 BD는 다른 대각선 AC의 **수직이등분선**입니다.
2. **(수직 조건)** 두 점 A, C를 지나는 직선 AC의 기울기를 구하고, 그것의 음수의 역수를 구해 직선 BD의 기울기를 찾습니다.
3. **(이등분 조건)** 두 점 A, C의 중점 M의 좌표를 구합니다. 이 중점은 직선 BD 위에 있습니다.
4. 3단계에서 구한 중점 M을 지나고 2단계에서 구한 기울기를 갖는 직선 BD의 방정식을 구합니다.
주의할 점:
마름모의 대각선 문제는 거의 항상 ‘수직’과 ‘이등분(중점)’이라는 두 가지 키워드로 해결됩니다. 이 성질을 반드시 기억해야 합니다.
”
마름모의 대각선 길이와 수직이등분
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특정 점을 지나고 주어진 직선에 수직인 직선의 y절편이 주어졌을 때, 원래 점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선의 기울기를 구한 뒤, 그것과 곱해서 -1이 되는 수직 기울기를 찾습니다.
2. 이 수직 기울기를 가지면서 점 (1, a)를 지나는 직선의 방정식을 미지수 a를 포함한 상태로 세웁니다.
3. 2단계에서 구한 직선의 y절편(상수항)이 문제에 주어진 값과 같다고 등식을 세워 a값을 구합니다.
주의할 점:
y=mx+b 형태에서 b가 y절편임을 이용하여, 구한 직선의 상수항 부분을 주어진 y절편 값과 비교하면 됩니다.
”
수직인 직선이 원점을 지날 조건
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197번 문제와 동일하게, 마름모의 대각선이 서로 수직이등분함을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 대각선 AC의 길이가 주어졌으므로, 두 점 A, C 사이의 거리 공식을 이용해 미지수 n의 값을 먼저 구합니다.
2. 점 C의 좌표가 확정되면, 197번과 동일하게 직선 BD는 선분 AC의 수직이등분선임을 이용합니다.
3. 선분 AC의 중점과 수직 기울기를 구해 직선 BD의 방정식을 찾고, 계수를 비교하여 a,b 값을 구합니다.
주의할 점:
문제 해결을 위해 대각선의 길이 조건을 먼저 사용하여 모든 꼭짓점의 정보를 확정한 뒤, 수직이등분선 개념을 적용하는 순서로 풀어야 합니다.
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이등변삼각형과 수직 조건
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특정 점을 지나고 주어진 직선에 수직인 직선이 원점을 지날 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선에 수직인 직선의 기울기를 구합니다.
2. 이 기울기를 가지고 점 (6, a)를 지나는 직선의 방정식을 미지수 a를 포함한 상태로 세웁니다.
3. 이 직선이 원점 (0,0)을 지난다고 했으므로, 방정식에 x=0, y=0을 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
직선이 원점을 지난다는 것은 y절편이 0이라는 의미와 같습니다. 구한 직선의 상수항 부분이 0이 되도록 하는 a값을 찾는 것과 동일합니다.
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선분의 수직이등분선 방정식
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이등변삼각형의 성질과 수직 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 ABC가 AB=AC인 이등변삼각형이므로, 꼭짓점 A에서 밑변 BC에 내린 중선은 밑변을 수직이등분합니다.
2. 문제에서 선분 BC의 중점이 y축 위에 있다고 주어졌습니다. 이 중점을 M이라 합시다.
3. 따라서 직선 AM은 직선 BC(또는 직선 y=m(x-2))와 서로 수직입니다.
4. 직선 AM의 기울기와 직선 BC의 기울기(m)의 곱이 -1이라는 등식을 세워 m값을 구합니다.
주의할 점:
이등변삼각형의 꼭지각의 꼭짓점과 밑변의 중점을 이은 선분은 밑변에 수직이라는 핵심적인 기하학적 성질을 적용하는 것이 중요합니다.
”
두 직선의 수직 조건과 무게중심
