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연속적인 대칭이동 후, 직선이 원의 넓이를 이등분할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선을 y축에 대해 대칭이동하고, 그 결과를 다시 y=x에 대해 대칭이동하여 최종 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이 최종 직선이 원의 넓이를 이등분하므로, 반드시 원의 중심을 지나야 합니다.
3. 원의 방정식을 표준형으로 바꿔 중심 좌표를 찾습니다.
4. 중심의 좌표를 1단계에서 구한 최종 직선의 방정식에 대입하여 미지수 a값을 구합니다.
주의할 점:
대칭이동의 순서를 정확히 지키고, 넓이 이등분 조건을 ‘중심을 지난다’로 해석하는 것이 핵심입니다.
”
연속 대칭이동 후 원의 넓이 이등분
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대칭이동한 직선이 미지수 k값에 관계없이 항상 지나는 점(정점)을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저, k를 포함한 원래 직선을 y=x에 대해 대칭이동합니다. (x와 y를 바꿈)
2. 대칭이동된 직선의 방정식을 미지수 k에 대하여 정리하여 **A * k + B = 0** 형태로 만듭니다.
3. 이 식이 k에 대한 항등식이므로, **A=0, B=0** 이라는 연립방정식을 풉니다.
4. 이 연립방정식의 해(x,y)가 바로 구하는 정점의 좌표 (a,b)가 됩니다.
주의할 점:
대칭이동을 먼저 한 후에, k에 대한 항등식 풀이를 적용하는 순서로 진행해야 합니다.
”
대칭이동한 직선의 정점 찾기
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직선의 대칭이동 후 특정 점을 지날 때의 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선 y=ax-6을 x축에 대해 대칭이동합니다. (y 대신 -y를 대입)
2. 대칭이동된 직선의 방정식에 점 (2,4)의 좌표를 대입합니다.
3. a에 대한 간단한 일차방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
x축 대칭은 y좌표의 부호를 바꾸는 것이므로, 방정식에서는 y를 -y로 바꾸어 대입합니다.
”
직선의 x축 대칭이동
“
직선의 원점 대칭 후 특정 점을 지날 때의 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선 3x-2y+a=0을 원점에 대해 대칭이동합니다. (x 대신 -x, y 대신 -y를 대입)
2. 대칭이동된 직선의 방정식에 점 (3,2)의 좌표를 대입합니다.
3. a에 대한 간단한 일차방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
원점 대칭은 x와 y의 부호를 모두 바꾸는 것입니다. 점의 이동과 도형의 이동 규칙을 혼동하지 않도록 합니다.
”
직선의 원점 대칭이동
“
직선의 대칭이동 후 y절편을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선을 y=x에 대해 대칭이동합니다. (x와 y를 서로 바꿈)
2. 대칭이동된 직선의 방정식에서 y절편을 찾습니다. (x=0을 대입했을 때의 y값)
주의할 점:
y=x 대칭은 x와 y의 역할을 완전히 바꾸는 이동입니다.
”
직선의 y=x 대칭이동
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두 개의 다른 원에 대해 각각 다른 대칭이동을 적용했을 때, 두 원이 일치할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 첫 번째 원을 x축에 대해 대칭이동한 원의 방정식을 구합니다. (원의 중심을 x축 대칭)
2. 두 번째 원을 y=x에 대해 대칭이동한 원의 방정식을 구합니다. (원의 중심을 y=x 대칭)
3. 두 개의 이동 후 원이 일치해야 하므로, 두 원의 중심이 같고 반지름이 같아야 합니다.
4. 중심 좌표를 비교하여 미지수 m, n의 값을 구합니다.
주의할 점:
원의 대칭이동은 중심점의 대칭이동으로 생각하면 간단합니다. 반지름의 길이는 대칭이동해도 변하지 않습니다.
”
두 원의 대칭이동 후 일치 조건
“
대칭이동한 원의 넓이를 직선이 이등분할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 주어진 원을 y축에 대해 대칭이동한 새로운 원의 방정식을 구합니다. (중심의 x좌표 부호만 바뀜)
2. 직선이 이 새로운 원의 넓이를 이등분하므로, 직선은 반드시 새로운 원의 중심을 지나야 합니다.
3. 새로운 원의 중심 좌표를 직선의 방정식에 대입하여 미지수 k값을 구합니다.
주의할 점:
대칭이동의 종류(x축, y축, 원점)에 따라 중심 좌표가 어떻게 변하는지 정확히 알아야 합니다.
”
대칭이동한 원의 넓이 이등분선
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대칭이동한 원이 직선에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 원의 방정식을 표준형으로 바꿔 중심과 반지름을 구합니다.
2. 이 원을 y=x에 대해 대칭이동한 새로운 원의 중심과 반지름을 구합니다. (중심 좌표의 x,y를 바꿈)
3. 이 새로운 원이 주어진 직선에 접하므로, 새로운 원의 중심과 직선 사이의 거리가 반지름과 같다는 등식을 세웁니다.
4. k에 대한 절댓값 방정식을 풀어 모든 k값의 합을 구합니다.
주의할 점:
원의 대칭이동과 접선 조건(d=r)이 결합된 문제입니다. 각 개념을 정확히 적용하는 것이 중요합니다.
”
대칭이동한 원이 직선에 접할 조건
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주어진 도형을 y=x에 대해 대칭이동했을 때, 모양이 변하지 않는 도형을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. y=x 대칭은 도형 위의 모든 점 (a,b)를 (b,a)로 옮기는 변환입니다.
2. 도형이 이 대칭이동에 대해 불변이려면, 그 도형 자체가 직선 y=x에 대해 선대칭이어야 합니다.
3. (보기 ㄱ, ㄹ) 중심이 y=x 위에 있는 원은 대칭입니다.
4. (보기 ㄷ) 직선 y=-x는 y=x와 수직이므로 대칭입니다.
5. (보기 ㄴ) 일반적인 직선은 대칭이 아닙니다. (단, 기울기가 1이거나, y=x와 수직이면서 y=x 위의 점을 지나는 경우는 예외)
주의할 점:
각 도형의 기하학적 특징을 보고 y=x에 대한 대칭성을 직관적으로 판단할 수 있어야 합니다.
”
y=x에 대해 변하지 않는 도형
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대칭이동한 두 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 C₁의 중심과 반지름을 구합니다.
2. 원 C₁을 y=x에 대해 대칭이동한 원 C₂의 중심과 반지름을 구합니다.
3. 두 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값은, **(두 원의 중심 사이의 거리) + (두 원의 반지름의 합)** 입니다.
4. 두 원의 중심 C₁, C₂ 사이의 거리를 구하고, 각 원의 반지름(동일함)을 더하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
두 원 사이의 거리 최대/최소 공식(d+r₁+r₂, d-r₁-r₂)을 정확히 적용해야 합니다.
”
대칭이동한 두 원 위 점 사이 최대 거리
