“
직선의 대칭이동과 수직 조건을 결합한 문제입니다.
접근법:
1. 직선 y=-2x+6을 직선 y=x에 대하여 대칭이동합니다. (x와 y를 서로 바꿈)
2. 1단계에서 구한 대칭이동된 직선에 수직인 직선의 기울기를 구합니다. (기울기 곱 = -1)
3. 2단계에서 구한 기울기를 가지고 점 (2,3)을 지나는 직선의 방정식을 완성합니다.
4. 완성된 방정식을 y=ax+b 형태와 비교하여 a,b 값을 찾습니다.
주의할 점:
y=x에 대한 대칭이동은 x와 y의 역할을 바꾸는 것입니다. 대칭이동된 직선의 방정식을 y에 관해 정리하여 기울기를 정확히 구해야 합니다.
”
직선의 대칭이동과 수직 조건
“
포물선의 연속적인 대칭이동 후 꼭짓점의 좌표를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. (꼭짓점의 이동) 원래 포물선의 꼭짓점 좌표를 먼저 구하지 말고, 이동 규칙을 먼저 분석합니다. 점 (x,y)를 원점 대칭하면 (-x,-y), 이를 다시 y축 대칭하면 (x,-y)가 됩니다.
2. **(방정식의 이동) 포물선 y=x²-2ax+b 를 원점 대칭하면 -y=(-x)²-2a(-x)+b 가 되고, 이를 다시 y축 대칭하면 -y=x²-2ax+b 가 됩니다.
3. 최종적으로 이동된 포물선 y=-x²+2ax-b 의 꼭짓점 좌표를 구하고, 이것이 (2,-1)과 같다고 놓고 a, b값을 찾습니다.
주의할 점:
포물선 전체를 이동시키는 것보다, 꼭짓점만 이동시키는 것이 계산이 더 간단할 수 있습니다. 두 가지 방법 모두 가능합니다.
”
포물선의 연속적인 대칭이동과 꼭짓점
“
한 직선을 연속적으로 대칭이동했을 때, 원래 점을 다시 지나도록 하는 기울기를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A(4,-3)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선을 y=x에 대해 대칭이동합니다. (x와 y를 바꿈)
3. 2단계에서 얻은 직선을 x축에 대해 대칭이동합니다. (y 대신 -y를 대입)
4. 최종적으로 얻은 이 직선이 다시 점 A(4,-3)을 지나야 하므로, 좌표를 대입하여 m에 대한 방정식을 풉니다.
주의할 점:
대칭이동을 순서대로 정확하게 적용하고, 최종 방정식에 원래 점을 다시 대입하는 흐름을 따라가야 합니다.
”
연속 대칭이동 후 원래 점을 지날 조건
“
578번 문제와 동일하게, 포물선을 연속적으로 대칭이동시킨 후 꼭짓점의 위치를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. (포물선 이동) 주어진 포물선을 원점에 대해 대칭이동하고, 그 결과를 다시 x축에 대해 대칭이동하여 최종 포물선의 방정식을 구합니다.
2. (꼭짓점 찾기) 최종 포물선의 방정식을 표준형으로 변환하여 꼭짓점의 좌표를 찾습니다.
3. 이 꼭짓점이 직선 y=ax+7 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
대칭이동 순서(원점 -> x축)를 정확히 지켜야 합니다. 꼭짓점을 먼저 구해서 이동시키는 방법도 유효합니다.
”
포물선 연속 이동과 꼭짓점이 직선 위
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두 직선이 직선 y=x에 대하여 서로 대칭일 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 한 직선(예: 첫 번째 직선)을 y=x에 대해 대칭이동 시킵니다. (x와 y를 바꿈)
2. 이 대칭이동된 직선이 다른 한 직선과 완전히 일치해야 합니다.
3. 두 직선의 방정식이 일치할 조건, 즉 계수의 비가 모두 같다는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식을 연립하여 미지수 a, b의 값을 구합니다.
주의할 점:
두 도형이 y=x 대칭이라는 것은, 하나를 y=x 대칭시켰을 때 다른 하나와 겹쳐진다는 의미입니다.
”
두 직선이 y=x에 대해 대칭일 조건
“
대칭이동한 포물선이 직선에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 주어진 포물선을 원점에 대해 대칭이동한 새로운 포물선의 방정식을 구합니다.
2. 이 포물선과 직선 y=ax+2가 접하므로, 두 식을 연립하여 x에 대한 이차방정식을 만듭니다.
3. 이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로, 판별식 D=0 이라는 등식을 세웁니다.
4. a에 대한 이차방정식이 나오며, 근과 계수의 관계를 이용해 ‘모든 a의 값의 합’을 구합니다.
주의할 점:
대칭이동, 포물선과 직선의 위치 관계(접선) 등 여러 개념이 결합된 문제입니다. 판별식 D=0 조건을 정확히 적용해야 합니다.
”
대칭이동한 포물선이 직선에 접할 조건
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대칭이동한 직선이 다른 직선과 만나지 않을(평행할) 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 직선 y=ax+b가 점 (2,1)을 지나므로, 대입하여 a와 b의 관계식을 하나 얻습니다.
2. 이 직선을 x축에 대해 대칭이동합니다. (y 대신 -y 대입)
3. 대칭이동한 직선이 2x-y+6=0과 만나지 않으므로, 두 직선은 **평행**합니다. 즉, 기울기가 같아야 합니다.
4. 이 기울기 조건을 통해 a값을 확정하고, 1단계의 관계식을 이용해 b값도 구합니다.
주의할 점:
평행 조건(기울기는 같고 y절편은 다르다)을 정확히 적용해야 합니다. 이 문제에서는 y절편이 다름이 자명하므로 기울기만 비교하면 됩니다.
”
대칭이동 후 평행(만나지 않을) 조건
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대칭이동한 직선이 원에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 x-2y=9를 y=x에 대해 대칭이동하여 새로운 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이 새로운 직선이 주어진 원에 접하므로, **원의 중심과 이 직선 사이의 거리가 원의 반지름과 같아야** 합니다.
3. 원의 방정식을 표준형으로 바꿔 중심과 반지름을 찾습니다.
4. 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 등식을 세우고, 양수 k값을 구합니다.
주의할 점:
대칭이동과 원의 접선 조건(d=r)이 결합된 유형입니다. 각 개념을 정확히 적용하는 것이 중요합니다.
”
대칭이동한 직선이 원에 접할 조건
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연속적인 대칭이동 후, 직선이 원의 넓이를 이등분할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 직선을 y축에 대해 대칭이동하고, 그 결과를 다시 y=x에 대해 대칭이동하여 최종 직선의 방정식을 구합니다.
2. 이 최종 직선이 원의 넓이를 이등분하므로, 반드시 원의 중심을 지나야 합니다.
3. 원의 방정식을 표준형으로 바꿔 중심 좌표를 찾습니다.
4. 중심의 좌표를 1단계에서 구한 최종 직선의 방정식에 대입하여 미지수 a값을 구합니다.
주의할 점:
대칭이동의 순서를 정확히 지키고, 넓이 이등분 조건을 ‘중심을 지난다’로 해석하는 것이 핵심입니다.
”
연속 대칭이동 후 원의 넓이 이등분
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포물선의 평행이동 규칙을 찾고, 그 규칙을 직선에 적용하여 두 평행한 직선 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (평행이동 규칙 찾기) 두 포물선을 각각 표준형으로 변환하여 꼭짓점의 좌표를 찾습니다. 두 꼭짓점의 이동을 통해 평행이동 규칙(x축, y축 방향 이동량)을 구합니다.
2. (직선에 적용) 원래 직선 l을 1단계에서 찾은 규칙대로 평행이동하여 새로운 직선 l’의 방정식을 구합니다.
3. 이제 두 직선 l과 l’은 서로 평행합니다. **평행한 두 직선 사이의 거리**를 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
포물선의 이동은 꼭짓점의 이동으로, 직선의 이동은 방정식에 직접 대입하여 구하는 것이 일반적입니다. 두 평행한 직선 사이의 거리 공식을 잊지 말아야 합니다.
”
포물선 이동 규칙으로 평행한 직선 거리 구하기
