“
아폴로니우스의 원을 활용하여 삼각형 넓이의 최댓값을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 두 점 A, B로부터 거리의 비가 2:3인 점 P의 자취, 즉 아폴로니우스의 원의 방정식을 구합니다.
2. 삼각형 ABP에서 선분 AB는 길이가 5로 고정되어 있으므로, 이 선분을 밑변으로 생각합니다.
3. 삼각형의 넓이가 최대가 되려면 **높이가 최대**여야 합니다.
4. 높이가 최대일 때는, 점 P가 밑변 AB로부터 가장 멀리 떨어져 있을 때이며, 그 높이는 바로 **아폴로니우스의 원의 반지름의 길이**와 같습니다.
5. 밑변의 길이와 최대 높이(반지름)를 이용해 넓이의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
점 P의 자취가 원임을 파악하는 것이 첫 단계입니다. 고정된 밑변을 갖는 삼각형의 넓이가 최대/최소가 되는 지점은 원의 중심과 관련된 지점임을 이해해야 합니다.
”
아폴로니우스의 원과 삼각형 넓이 최댓값
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아폴로니우스의 원 위에서, 특정 각의 크기가 최대가 되는 순간의 선분의 길이를 묻는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 점 P의 자취인 아폴로니우스의 원의 방정식을 구합니다.
2. 각 POA의 크기가 최대가 되는 순간은, **직선 OP가 원에 접할 때**입니다.
3. 이 상황은 원점 O를 원 밖의 한 점으로 보고, 원에 그은 접선의 접점이 P가 되는 상황과 같습니다.
4. 원의 중심 C, 원점 O, 접점 P는 직각삼각형 OCP를 이룹니다.
5. 피타고라스 정리를 이용해 접선의 길이, 즉 선분 OP의 길이를 구합니다.
주의할 점:
각의 크기가 최대가 되는 지점이 접점이라는 기하학적 통찰이 필요합니다. 그림을 그려서 위치 관계를 파악하면 이해에 도움이 됩니다.
”
아폴로니우스의 원과 각의 크기 최댓값
“
네 점이 한 원 위에 있을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 미지수가 없는 세 점 A, B, C를 지나는 원의 방정식을 구합니다.
2. 네 번째 점 D(k,2)가 이 원 위에 있어야 하므로, 1단계에서 구한 원의 방정식에 점 D의 좌표를 대입합니다.
3. 대입하면 k에 대한 이차방정식이 만들어집니다.
4. ‘모든 k의 값의 합’을 물었으므로, 근과 계수의 관계를 이용하거나 직접 두 근을 더하여 답을 구합니다.
주의할 점:
세 점이 주어지면 원은 하나로 결정됩니다. 네 번째 점은 그 결정된 원 위에 있기만 하면 된다는 원리를 이용하는 문제입니다.
”
네 점이 한 원 위에 있을 조건
“
원이 y축에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원이 y축에 접하면, |중심의 x좌표| = 반지름의 길이 라는 성질이 성립합니다.
2. 주어진 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심의 좌표와 반지름의 길이를 미지수 a, b를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 1단계의 성질을 이용해 식을 세우면, a와 b 사이의 관계식을 하나 얻을 수 있습니다.
4. 원이 점 (-2,4)를 지나므로, 좌표를 원의 방정식에 대입하여 두 번째 관계식을 얻습니다.
5. 두 관계식을 연립하여 a, b의 값을 구합니다.
주의할 점:
x축에 접할 조건은 |중심의 y좌표|=반지름, y축에 접할 조건은 |중심의 x좌표|=반지름 입니다. 두 조건을 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
”
y축에 접하는 원의 방정식
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338, 339번 문제와 동일하게 세 점을 지나는 원의 중심 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (방법 1: 외심 찾기) 원의 중심을 (p,q)라 하면, 중심에서 세 점까지의 거리가 모두 같습니다. 이 조건을 연립방정식으로 풀어 p, q를 구합니다.
2. (방법 2: 일반형 대입) 원의 방정식을 x²+y²+Ax+By+C=0으로 두고, 세 점의 좌표를 대입하여 A, B, C를 구합니다. 그 후, 표준형으로 바꿔 중심 좌표를 찾습니다.
3. 이 문제에서는 세 점 중 하나가 원점(0,0)이므로 방법 2가 더 간편합니다.
주의할 점:
어떤 방법을 사용하든 계산 과정이 길어질 수 있으므로, 계산 실수가 없도록 주의해야 합니다.
”
세 점(원점 포함)을 지나는 원의 중심
“
원이 x축에 접할 조건과 중심의 위치(사분면)를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원이 x축에 접하면, |중심의 y좌표| = 반지름의 길이 라는 성질이 성립합니다.
2. 주어진 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심의 좌표와 반지름을 k를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 1단계의 성질을 이용해 k에 대한 방정식을 세웁니다.
4. 방정식을 풀면 k값이 두 개가 나오는데, ‘중심이 제3사분면에 있다’는 조건을 만족하는 k값을 선택합니다. (중심의 x, y좌표가 모두 음수여야 함)
주의할 점:
원의 중심 좌표가 (-1, -k)이므로, 제3사분면에 있으려면 -k0 이어야 한다는 점을 놓치지 말아야 합니다.
”
x축에 접하고 중심이 3사분면인 원
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x축과 y축에 의해 잘린 현(지름)과 원의 중심이 특정 직선 위에 있을 조건을 종합하여 원의 방정식을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원이 원점, x축 위의 점 A, y축 위의 점 B를 지나므로, 삼각형 OAB는 직각삼각형입니다. 따라서 선분 AB가 원의 지름이 됩니다.
2. 점 A의 좌표를 (t,0)이라 하면, (가) 조건에 의해 점 B의 좌표는 (0, t+4)가 됩니다.
3. 원의 중심 C는 지름 AB의 중점이므로, C의 좌표를 t에 대한 식으로 표현할 수 있습니다.
4. (나) 조건에서 중심 C가 직선 y=3x 위에 있으므로, 중심의 좌표를 대입하여 t값을 구합니다.
5. t값이 확정되면 중심 좌표(a,b)와 반지름(r)을 모두 구할 수 있습니다.
주의할 점:
원점을 지나는 원이 x축, y축과 만나는 점을 이은 선분은 항상 원의 지름이 된다는 기하학적 성질을 파악하는 것이 중요합니다.
”
축과 만나는 점이 지름일 때 원 구하기
“
x축에 접하고, 넓이가 주어졌으며, 특정 점을 지나는 원의 중심을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원의 넓이가 16π이므로 반지름 r=4 임을 알 수 있습니다.
2. 원이 x축에 접하고 중심이 제4사분면에 있으므로, 중심의 좌표를 (a, -4) 로 설정할 수 있습니다.
3. 이제 원의 방정식은 중심 (a,-4)와 반지름 4를 이용하여 세울 수 있습니다.
4. 이 원이 점 (0,-3)을 지나므로, 좌표를 대입하여 a에 대한 방정식을 풀면 중심이 확정됩니다.
주의할 점:
중심이 어느 사분면에 있는지에 따라, x축 또는 y축에 접할 때 중심 좌표의 부호가 결정됩니다. (4사분면에서 x축 접촉 -> 중심 y좌표 = -r)
”
x축에 접하는 원의 중심 찾기
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주어진 방정식이 원이 되기 위한 조건을 묻는 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 방정식(일반형)을 완전제곱식을 이용하여 표준형 (x-a)²+(y-b)²=R² 형태로 변환합니다.
2. 이 식이 원이 되려면, 우변에 해당하는 반지름의 제곱(R²) 값이 반드시 0보다 커야 합니다.
3. R² > 0 이라는 부등식을 풀어 미지수 k의 값의 범위를 찾습니다.
4. 그 범위에 해당하는 정수 k의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
R²=0 이면 점이 되고, R² 0 이어야만 원이 된다는 사실을 기억해야 합니다.
”
방정식이 원이 되기 위한 조건
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y축에 접하고, 중심이 특정 직선 위에 있는 원의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원이 점 (-1,0)에서 y축에 접하므로, 중심의 x좌표는 -1이고, 반지름의 길이는 |-1|=1 입니다.
2. 이제 원의 중심은 (-1, b) 형태로, 미지수가 하나만 남습니다.
3. 중심 (-1, b)가 직선 x-y+4=0 위에 있다고 했으므로, 좌표를 대입하여 b값을 구합니다.
4. 중심과 반지름이 모두 확정되었으므로, 원의 방정식을 완성하고 계수를 비교합니다.
주의할 점:
‘점 (a,b)에서 x축(또는 y축)에 접한다’는 조건은 중심의 y좌표(또는 x좌표)와 반지름을 동시에 알려주는 매우 강력한 힌트입니다.
”
특정 점에서 y축에 접하는 원
