“
어떤 조건을 만족하는 점이 그리는 도형, 즉 점의 자취를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 자취 위의 점을 P(x, y)로 설정합니다.
2. 문제에서 주어진 조건은 ‘두 점 A, B로부터 같은 거리에 있다’이므로, **AP = BP** 라는 등식을 세웁니다.
3. 양변을 제곱하여 루트를 없앤 뒤(AP²=BP²), 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 x와 y에 대한 식으로 나타냅니다.
4. 식을 정리하면 x와 y에 대한 일차방정식이 남으며, 이것이 바로 구하는 자취의 방정식입니다.
주의할 점:
두 점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 자취는 ‘두 점을 잇는 선분의 수직이등분선’이 된다는 사실을 알고 있다면, 직접 수직이등분선의 방정식을 구해서 검산할 수도 있습니다.
”
점의 자취 (같은 거리)
“
각의 이등분선이 마주보는 변의 중점을 지날 때의 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 각 B의 이등분선이 선분 AC와 만나는 점을 M이라 할 때, 내각의 이등분선 정리에 의해 **AM:MC = BA:BC** 가 성립합니다.
2. 문제에서 이등분선이 AC의 ‘중점’을 지난다고 했으므로 AM:MC = 1:1 입니다.
3. 따라서 **BA = BC** 라는 결론을 얻을 수 있습니다.
4. 즉, 삼각형 ABC는 BA=BC인 **이등변삼각형**입니다. 이 조건을 이용해 미지수 a값을 구합니다.
주의할 점:
기하학적 정리(각의 이등분선)와 특정 조건(중점)을 결합하여, 삼각형이 특별한 종류(이등변삼각형)임을 밝혀내는 과정이 핵심입니다.
”
이등변삼각형과 각의 이등분선
“
삼각형의 내심의 성질을 이용하는 문제입니다. 내심은 세 내각의 이등분선의 교점입니다.
접근법:
1. 점 I가 내심이므로, 직선 AI는 **각 BAC의 이등분선**입니다.
2. 따라서 점 D는 각 A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점입니다.
3. 95번 문제와 동일하게, 내각의 이등분선 정리에 따라 **BD:DC = AB:AC** 가 성립합니다.
4. 선분 AB와 AC의 길이를 구해 비율을 찾은 뒤, 점 D가 선분 BC를 어떤 비율로 내분하는지 알아내어 좌표를 구합니다.
주의할 점:
‘내심’이라는 단어에서 ‘내각의 이등분선’을 바로 연결해야 풀이의 실마리를 잡을 수 있습니다. 내심의 좌표를 직접 구하는 문제가 아님에 주의하세요.
”
삼각형의 내심과 각의 이등분선
“
내각의 이등분선 정리와 이차방정식의 근과 계수의 관계를 결합한 문제입니다.
접근법:
1. 내각의 이등분선 정리에 따라 BD:DC = AB:AC = 8:4 = 2:1 입니다.
2. 전체 밑변 BC의 길이가 9이므로, 점 D는 BC를 2:1로 나누는 점입니다. [cite_start]이를 이용해 두 선분 BD(a)와 DC(b)의 실제 길이를 각각 구합니다. [cite: 2477-2478]
3. a와 b가 이차방정식의 두 근이므로, 근과 계수의 관계를 이용해 p(두 근의 합)와 q(두 근의 곱)를 구합니다.
주의할 점:
여러 단원의 개념이 순차적으로 결합된 문제입니다. 각 단계에서 필요한 개념(각의 이등분선 정리 -> 비례배분 -> 근과 계수의 관계)을 정확히 떠올리는 능력이 필요합니다.
”
각의 이등분선과 이차방정식 근
“
95번 문제의 원리를 삼각형의 넓이 비에 적용하는 문제입니다.
접근법:
1. 95번과 동일하게, 내각의 이등분선 정리에 따라 밑변의 분할비 BD:DC는 AB:AC와 같습니다.
2. 두 삼각형 ABD와 ADC는 꼭짓점 A를 공유하므로 높이가 같습니다.
3. 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비는 **밑변의 길이의 비**와 같습니다.
4. 따라서 (넓이 비) ABD:ADC = (밑변 비) BD:DC = (변의 비) AB:AC 입니다. 선분 AB와 AC의 길이를 구해 그 비율을 찾으면 됩니다.
주의할 점:
각의 이등분선이 밑변을 나누는 비가, 원래 삼각형의 넓이를 나누는 비와도 같다는 점을 이해하는 것이 핵심입니다.
”
각의 이등분선과 넓이 비
“
삼각형의 내각의 이등분선 정리를 이용하여 선분의 내분점 좌표를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 내각의 이등분선 정리는 **AB : AC = BD : DC** 라는 변의 길이 비 관계입니다.
2. [cite_start]먼저 두 점 사이의 거리 공식을 이용해 선분 AB와 선분 AC의 길이를 각각 구합니다. [cite: 2434-2436]
3. 두 길이의 비(AB:AC)가 바로 밑변 BC를 나누는 비(BD:DC)가 됩니다.
4. 따라서 점 D는 선분 BC를 AB:AC의 비율로 내분하는 점이므로, 내분점 공식을 이용해 좌표를 구합니다.
주의할 점:
내각의 이등분선 정리를 모르면 풀 수 없는 문제입니다. ‘각의 이등분선’이라는 키워드를 보면 이 정리를 바로 떠올릴 수 있도록 암기해두어야 합니다.
”
내각의 이등분선 정리
“
마름모의 두 가지 핵심 성질을 모두 활용하여 모든 미지수를 찾는 종합 문제입니다.
접근법:
1. **(성질 1: 변의 길이)** 마름모는 네 변의 길이가 같습니다. [cite_start]원점을 포함하므로 OA=OC 라는 조건을 이용하면 미지수 a의 값을 먼저 구할 수 있습니다. [cite: 2455-2457]
2. **(성질 2: 대각선 중점)** 대각선 OB와 대각선 AC의 중점이 일치한다는 성질을 이용합니다.
3. 1단계에서 구한 a값을 포함하여 AC의 중점 좌표를 구하고, 이를 OB의 중점 좌표와 같다고 놓으면 나머지 미지수 b, c의 값을 구할 수 있습니다.
주의할 점:
어떤 성질을 먼저 적용해야 미지수를 효율적으로 줄여나갈 수 있는지 판단하는 전략이 필요합니다. 이 문제에서는 변의 길이 조건을 먼저 사용하는 것이 유리합니다.
”
마름모 성질 종합 (대각선, 변)
“
평행사변형의 성질과 함께 둘레의 길이 조건이 주어진 응용 문제입니다.
접근법:
1. 평행사변형의 둘레의 길이가 16√2이므로, 이웃한 두 변의 길이의 합은 그 절반인 8√2입니다. (AB+AD = 8√2 또는 AB+BC = 8√2)
2. 선분 AB의 길이는 주어진 좌표로 계산할 수 있습니다.
3. 이를 통해 선분 AD(또는 BC)의 길이를 알 수 있습니다.
4. 꼭짓점 D의 좌표를 미지수로 두고, AD의 길이가 특정 값이 된다는 방정식을 세워 풀어 모든 가능한 k값을 찾습니다.
주의할 점:
평행사변형의 성질(대각선 중점 일치)을 이용해 점 D의 좌표를 먼저 k에 대한 식으로 표현한 뒤, 변의 길이를 계산하는 방법도 있습니다.
”
평행사변형 둘레와 꼭짓점
“
마름모의 성질과 무게중심 개념이 결합된 종합 문제입니다.
접근법:
1. [cite_start]먼저 91번 문제와 같이, 마름모의 두 가지 성질(대각선 중점 일치, 이웃한 변의 길이 같음)을 이용해 모든 꼭짓점의 좌표를 확정합니다. [cite: 2366-2378]
2. 꼭짓점 B, C, D의 좌표가 모두 정해졌습니다.
3. 이 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 BCD의 무게중심을 공식을 이용해 구합니다.
주의할 점:
여러 단계를 거쳐야 하는 문제입니다. 각 단계에서 요구하는 개념(마름모 성질, 무게중심 공식)을 정확히 적용하는 것이 중요합니다.
”
마름모 성질과 무게중심
“
마름모의 성질을 이용하여 미지수를 찾는 문제입니다. 마름모는 평행사변형의 성질을 모두 가집니다.
접근법:
1. **(성질 1: 평행사변형)** 두 대각선 AC와 BD의 중점이 일치한다는 식을 세워 미지수 a, b 사이의 관계식을 하나 얻습니다.
2. **(성질 2: 마름모)** 마름모는 네 변의 길이가 모두 같습니다. 이웃한 두 변의 길이가 같다는 조건(예: AB=AD)을 이용해 두 번째 식을 세웁니다.
3. 두 식을 연립하여 a, b의 값을 구하고, 문제의 조건(a
주의할 점:
마름모는 ‘네 변의 길이가 같다’는 성질과 ‘두 대각선이 서로를 수직이등분한다’는 성질을 모두 가지고 있습니다. 두 가지 성질 중 어떤 것을 이용하는 것이 계산이 더 편리할지 판단하는 것이 좋습니다.
”
마름모의 성질 (변의 길이, 대각선)
