“
집합의 모든 부분집합에 대해, 각 부분집합의 원소의 합을 구하고, 그 합들을 다시 모두 더하는 문제입니다.
접근법:
1. 각 원소가 총 몇 번이나 더해지는지를 생각하는 것이 효율적입니다.
2. 집합 S의 특정 원소(예: 1)가 부분집합의 원소로 포함되는 경우는, **1을 반드시 포함하는 부분집합**의 개수와 같습니다.
3. 집합 S의 원소는 4개이므로, 1을 반드시 포함하는 부분집합의 개수는 2⁴⁻¹ = 8개 입니다.
4. 마찬가지로, 2, 4, 8도 각각 8개의 부분집합에 포함됩니다.
5. 따라서 모든 원소의 총합은 (1×8) + (2×8) + (4×8) + (8×8) = 8 × (1+2+4+8) 입니다.
주의할 점:
각 원소를 기준으로 그 원소가 몇 번 나타나는지를 세어서 계산하는 것이 이 유형의 핵심 풀이법입니다.
”
모든 부분집합의 원소의 총합 구하기
“
제곱수의 일의 자리 수에 대한 규칙을 만족하는 집합의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 1부터 9까지의 자연수에 대해, m과 m²의 일의 자릿수가 같은 m이 아닌 n이 존재하는지 확인하여 원소 쌍을 찾습니다.
– m=2 (2²=4), n=8 (8²=64) → {2,8}은 쌍으로 존재
– m=3 (3²=9), n=7 (7²=49) → {3,7}은 쌍으로 존재
– {1,9}, {4,6}도 같은 규칙으로 쌍을 이룹니다.
– 5는 자기 자신과 짝이므로 규칙에 맞지 않습니다.
2. 이 규칙을 만족하는 집합 A는, 4개의 묶음({1,9}, {2,8}, {3,7}, {4,6})을 원소로 하는 새로운 집합의 부분집합과 같습니다.
3. 4개의 묶음으로 만들 수 있는 부분집합의 개수는 2⁴개 입니다.
4. 문제에서 공집합이 아닌 집합을 구하라고 했으므로 1개를 제외합니다.
주의할 점:
문제의 규칙을 만족하는 원소 쌍을 정확하게 찾는 것이 첫 단계입니다. 규칙에 맞지 않는 원소(5)는 집합 A에 포함될 수 없습니다.
”
제곱수의 일의 자리 수 규칙을 갖는 집합 찾기
“
특별한 규칙과 특정 원소 포함 조건을 동시에 만족하는 집합의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원소가 될 수 있는 자연수는 18의 양의 약수입니다.
2. 규칙에 따라 짝지어지는 원소 묶음을 찾습니다. {1,18}, {2,9}, {3,6}
3. (나) 조건: 집합 X는 2를 반드시 원소로 가져야 합니다.
4. (가) 조건: x=2가 X의 원소이므로, 18/2 = 9도 반드시 X의 원소가 되어야 합니다. 즉, **{2,9} 묶음은 반드시 포함**되어야 합니다.
5. 결국, 구하는 집합 X의 개수는 {2,9} 묶음을 반드시 포함하면서, 나머지 2개의 묶음({1,18}, {3,6})으로 만들 수 있는 부분집합의 개수와 같습니다. (2²)
주의할 점:
특정 원소를 포함하라는 조건이 주어지면, 그 원소와 짝이 되는 다른 원소도 규칙에 따라 반드시 포함되어야 함을 잊지 말아야 합니다.
”
특정 원소를 포함하는 특별한 규칙의 집합
“
특별한 규칙을 만족하면서 원소의 개수가 홀수인 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원소가 될 수 있는 자연수는 36의 양의 약수입니다.
2. 규칙에 따라 짝지어지는 원소 묶음을 찾습니다.
– {1,36}, {2,18}, {3,12}, {4,9}
– {6} (자기 자신과 짝)
3. (나) 조건: 집합 X의 원소의 개수가 홀수이려면, 짝수 개로 이루어진 묶음 외에 홀수 개의 원소를 가진 묶음, 즉 **{6}을 반드시 포함**해야 합니다.
4. 따라서, 집합 X는 {6}을 반드시 포함하면서, 나머지 4개의 묶음({1,36}, {2,18}, {3,12}, {4,9})으로 만들 수 있는 부분집합입니다.
5. 4개의 묶음으로 만들 수 있는 부분집합의 개수는 2⁴ 입니다.
주의할 점:
원소의 개수가 홀수가 되려면, 자기 자신과 짝이 되어 단독으로 존재할 수 있는 원소(제곱수)를 반드시 포함해야 한다는 점을 추론하는 것이 핵심입니다.
”
원소 개수가 홀수인 특별한 규칙의 집합 찾기
“
755번 문제와 동일한 원리를 적용하지만, 원소의 개수에 대한 조건이 추가된 문제입니다.
접근법:
1. 원소가 될 수 있는 자연수는 20의 양의 약수입니다. {1, 2, 4, 5, 10, 20}
2. 규칙에 따라 짝지어지는 원소 묶음을 찾습니다. {1,20}, {2,10}, {4,5}
3. (a₂) 원소의 개수가 2개인 집합 A는, 3개의 묶음 중 1개를 선택하는 경우와 같습니다. (₃C₁ = 3개)
4. (a₄) 원소의 개수가 4개인 집합 A는, 3개의 묶음 중 2개를 선택하는 경우와 같습니다. (₃C₂ = 3개)
5. a₂와 a₄의 값을 더합니다.
주의할 점:
원소의 개수에 대한 조건이 주어지면, 전체 묶음 중에서 몇 개의 묶음을 선택할 것인지 조합(Combination)의 개념으로 접근하면 편리합니다.
”
원소 개수 조건이 있는 특별한 규칙의 집합
“
754번 문제와 완전히 동일한 유형입니다. 규칙이 (x ∈ A 이면 16/x ∈ A)으로 바뀌었습니다.
접근법:
1. 원소가 될 수 있는 자연수 x는 16의 양의 약수여야 합니다. {1, 2, 4, 8, 16}
2. 규칙에 따라 짝지어지는 원소 묶음을 찾습니다.
– {1, 16}
– {2, 8}
– {4} (4가 들어가면 16/4=4 이므로 혼자 가능)
3. 이 3개의 묶음으로 만들 수 있는 부분집합의 개수를 구합니다. (2³)
4. 공집합이 아닌 집합을 묻고 있으므로 1개를 빼줍니다.
주의할 점:
짝지어지는 규칙이 덧셈이든 곱셈이든, ‘묶음’을 하나의 원소처럼 취급하여 부분집합의 개수를 세는 원리는 동일합니다.
”
원소 사이에 곱셈 규칙이 있는 집합의 개수
“
753번 문제와 유사하게, 원소 사이에 특별한 규칙 (x ∈ A 이면 8-x ∈ A)을 만족하는 집합의 개수를 세는 문제입니다.
접근법:
1. 원소가 될 수 있는 자연수는 1 ≤ x ≤ 7 입니다.
2. 규칙에 따라 원소들은 {1,7}, {2,6}, {3,5} 와 같이 쌍으로 존재하거나, {4} 처럼 혼자 존재할 수 있습니다.
3. 이 규칙을 만족하는 집합 A는, 이 짝지어진 묶음들({1,7}, {2,6}, {3,5}, {4})을 원소로 하는 새로운 집합의 부분집합과 같습니다.
4. 묶음의 개수가 4개이므로, 이들로 만들 수 있는 부분집합의 개수는 2⁴개 입니다.
5. 문제에서 공집합이 아닌 집합 A를 구하라고 했으므로, 공집합 1개를 제외한 2⁴-1 개가 답이 됩니다.
주의할 점:
개별 원소가 아닌 ‘원소 쌍’ 또는 ‘묶음’을 하나의 단위로 보고 부분집합의 개수를 세는 것이 이 유형의 핵심 아이디어입니다.
”
원소 사이에 특별한 규칙이 있는 집합의 개수
“
진부분집합의 개수와, 원소들 사이에 특별한 규칙 (x ∈ B 이면 10-x ∈ B)이 있는 집합을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건: 집합 B의 진부분집합 개수가 7개이므로, 2ⁿ⁽ᴮ⁾ – 1 = 7 입니다. 따라서 집합 B의 원소의 개수는 **3개**입니다.
2. (나) 조건: 이 규칙은 원소들이 쌍으로 존재해야 함을 의미합니다. (1이 있으면 9도 있어야 하고, 2가 있으면 8도 있어야 함. 단, 5는 10-5=5이므로 혼자 존재 가능)
3. 원소 개수가 3개이면서 이 규칙을 만족하려면, 반드시 **{5}**를 포함하고, **서로 짝이 되는 두 원소 {a, 10-a}**를 포함해야 합니다.
4. 따라서 집합 B는 {5, a, 10-a} 형태입니다. 모든 원소의 합은 항상 15가 됩니다.
주의할 점:
x와 10-x가 짝을 이룬다는 규칙을 파악하고, 원소의 개수 조건(홀수 개)을 만족하려면 자기 자신과 짝이 되는 원소(5)가 반드시 포함되어야 함을 추론하는 것이 핵심입니다.
”
원소 사이에 특별한 규칙이 있는 집합 찾기
“
원소의 개수와 특정 원소의 포함 조건이 결합된 부분집합의 개수를 찾는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. (전체 경우) 집합 A(원소 10개)의 부분집합 중 원소의 개수가 5개인 것의 개수를 구합니다. (₁₀C₅)
2. (여사건) ‘6의 약수를 적어도 2개 이상 포함’의 반대는 ‘(1) 6의 약수를 하나도 포함하지 않거나’, ‘(2) 6의 약수를 1개만 포함하는’ 경우입니다.
3. 6의 약수는 {1, 2, 3, 6} (4개), 그 외 원소는 6개입니다.
4. (여사건 1) 6의 약수 4개를 제외한 나머지 6개 원소 중에서 5개를 뽑는 경우의 수를 구합니다. (₆C₅)
5. (여사건 2) 6의 약수 4개 중 1개를 뽑고, 나머지 6개 원소 중에서 4개를 뽑는 경우의 수를 구합니다. (₄C₁ × ₆C₄)
6. (전체 경우) – (여사건 1 + 여사건 2)를 계산합니다.
주의할 점:
여러 조건을 만족하는 경우의 수를 셀 때는 조합과 여사건의 원리를 적절히 활용해야 합니다.
”
원소 개수와 약수 포함 조건의 부분집합 찾기
“
원소의 개수가 3개이고 적어도 한 개의 짝수를 원소로 갖는 부분집합의 개수를 찾는 문제입니다. 여사건의 원리를 이용합니다.
접근법:
1. (전체 경우) 먼저 집합 A의 원소 8개 중에서 3개를 뽑는 모든 경우의 수를 구합니다. (₈C₃)
2. (여사건) ‘적어도 한 개의 짝수’의 반대는 ‘모든 원소가 홀수’인 경우입니다.
3. 집합 A의 홀수 원소 {1, 3, 5, 7} 4개 중에서 3개를 뽑는 경우의 수를 구합니다. (₄C₃)
4. (전체 경우의 수) – (여사건의 경우의 수)를 계산하여 답을 찾습니다.
주의할 점:
원소의 개수가 특정 값으로 고정된 부분집합의 개수는 조합(Combination)을 이용하여 계산합니다. ‘적어도’라는 표현은 여사건 풀이법을 사용하라는 강력한 힌트입니다.
”
적어도 한 개의 짝수를 갖는 부분집합의 개수
