“
주어진 집합 연산이 의미하는 포함 관계(A⊂B)와 동치인 표현을 모두 고르는 문제입니다.
접근법:
1. A⊂B와 동치인 표현들을 모두 암기하고 있어야 합니다.
– A∩B = A
– A∪B = B
– A-B = ∅
– Bᶜ ⊂ Aᶜ
– A∩Bᶜ = ∅
2. 보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ이 이 표현들과 일치하는지 확인합니다. (ㄱ, ㄷ, ㄹ은 직접적인 동치 표현, ㄴ은 틀린 표현)
주의할 점:
집합의 포함 관계를 나타내는 여러 동치 표현은 매우 중요하므로 반드시 암기해야 합니다.
”
배수 집합의 교집합과 합집합의 성질
“
주어진 집합 연산이 의미하는 포함 관계를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 식 A ∪ (A∩B)ᶜ = U 를 간단히 합니다.
2. A ∪ (Aᶜ∪Bᶜ) = U (드모르간)
3. (A∪Aᶜ) ∪ Bᶜ = U ∪ Bᶜ = U
4. 즉, U ∪ Bᶜ = U 가 됩니다. 이 식이 성립하려면 Bᶜ이 U의 부분집합이기만 하면 되므로, 이 식은 항상 성립하는 항등식입니다.
5. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 A-B=∅, 즉 A⊂B를 유도함)
주의할 점:
해설 기준: 주어진 식을 변형하여 A-B=∅를 이끌어내고, A⊂B와 동치인 보기를 찾는 문제입니다.
”
주어진 관계가 서로소임을 의미할 때
“
포함 관계와 집합 연산에 대한 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. (ㄱ) A-B = A∩Bᶜ 입니다. A⊂B이면 A∩Bᶜ=∅ 이므로 참입니다.
2. (ㄴ) (반례) A={1}, B={1,2}일 때 A⊂B이지만 B-A={2}≠∅ 입니다.
3. (ㄷ) Bᶜ⊂Aᶜ은 A⊂B의 대우이므로, 두 조건은 동치입니다.
4. (ㄹ) A∪B=B는 A⊂B와 동치입니다.
5. (ㅁ) A∩B=A는 A⊂B와 동치입니다.
주의할 점:
A⊂B와 동치인 여러 가지 표현(A-B=∅, A∪B=B, A∩B=A, Bᶜ⊂Aᶜ)을 모두 암기하고 있어야 합니다.
”
A가 B의 부분집합일 조건 찾기
“
두 집합이 서로소일 때, 한 집합이 다른 집합의 여집합에 포함되는 관계를 묻는 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건: A와 B가 서로소(A∩B=∅) 입니다.
2. (나) 조건: B와 C가 서로소(B∩C=∅) 입니다.
3. A∩B=∅ 이면, A는 B의 바깥 영역에 존재하므로 **A ⊂ Bᶜ** 입니다.
4. B∩C=∅ 이면, B는 C의 바깥 영역에 존재하므로 **B ⊂ Cᶜ** 입니다.
5. 이 두 가지 관계를 항상 만족시키는 보기를 찾습니다.
주의할 점:
A와 C의 관계에 대해서는 주어진 정보만으로는 알 수 없습니다.
”
주어진 관계가 포함 관계를 의미할 때
“
835번 문제와 동일하게, 대칭차집합의 성질에 대한 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. A△U = (A-U)∪(U-A) = ∅∪Aᶜ = Aᶜ 입니다.
2. 따라서 (A△U)△A = Aᶜ△A = (Aᶜ-A)∪(A-Aᶜ) = Aᶜ∪A = U 입니다.
3. 이와 같은 방식으로 각 보기의 연산을 수행하여 결과가 옳은지 확인합니다.
주의할 점:
대칭차집합 연산에 전체집합(U)이나 공집합(∅)이 포함될 경우, 그 결과가 어떻게 되는지(A△∅=A, A△U=Aᶜ 등)를 정확히 알고 있어야 합니다.
”
집합의 포함 관계와 동치인 조건 찾기
“
대칭차집합과 관련된 연산 문제입니다.
접근법:
1. (A△B)△A = B 라는 성질을 이용합니다. (810번 참고)
2. (ㄱ) (A△B)△B = A 이므로 참입니다.
3. (ㄴ) (A△B)△C 와 A△(B△C)는 같습니다 (결합법칙 성립).
4. (ㄷ) A△B = A∪B 이려면, A∩B=∅ 이어야 합니다. 즉, 두 집합은 서로소입니다.
주의할 점:
대칭차집합의 여러 연산 성질들을 암기하고 있으면, 복잡한 증명 과정 없이도 빠르게 참/거짓을 판별할 수 있습니다.
”
두 집합이 서로소일 때의 포함 관계
“
주어진 집합 연산이 의미하는 포함 관계를 파악하는 문제입니다.
접근법:
1. A-(A-B) = A∩B 입니다. (807번 참고)
2. B-(B-A) = B∩A = A∩B 입니다.
3. 따라서 주어진 식은 (A∩B) ⊂ (A∩B) 가 되어 항상 성립하는 항등식입니다.
4. 이 식만으로는 A와 B 사이에 어떤 특별한 관계가 있는지 알 수 없습니다. 따라서 ‘항상 옳은’ 것을 찾아야 합니다. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 A=B를 유도함)
주의할 점:
만약 문제가 (A-B) ⊂ (B-A) 이었다면, A-B=∅ 이 되어 A⊂B 라는 결론을 얻을 수 있습니다. 문제의 조건을 정확히 확인해야 합니다.
”
대칭차집합의 연산 성질 이해하기
“
주어진 집합 연산과 동치인 표현을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. A-(B-C) = A – (B∩Cᶜ) = A ∩ (B∩Cᶜ)ᶜ = A ∩ (Bᶜ∪C)
2. = (A∩Bᶜ) ∪ (A∩C) = **(A-B) ∪ (A∩C)**
3. 이 결과가 보기 ④와 일치합니다.
4. 다른 보기들도 연산 법칙을 이용하거나 벤 다이어그램을 그려 일치 여부를 확인합니다.
주의할 점:
차집합을 교집합과 여집합으로 바꾸는 것부터 시작하여, 분배법칙을 이용해 전개하는 것이 정석적인 풀이법입니다.
”
대칭차집합의 성질 참/거짓 판별하기
“
주어진 집합 연산이 나타내는 벤 다이어그램 영역을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 식 (B-A)ᶜ ∩ A 를 간단히 합니다.
2. (B-A)ᶜ = (B∩Aᶜ)ᶜ = Bᶜ∪A (드모르간 법칙)
3. (Bᶜ∪A) ∩ A = A 입니다. (흡수법칙)
4. 따라서 주어진 식은 **집합 A** 전체를 의미합니다. A 영역이 색칠된 그림을 찾습니다.
주의할 점:
흡수법칙 (X∪Y)∩X = X, (X∩Y)∪X = X는 복잡한 식을 간단히 하는 데 매우 유용하게 사용됩니다.
”
두 명제의 참/거짓과 집합의 관계
“
새로운 연산(※)의 결과를 벤 다이어그램으로 나타내는 문제입니다.
접근법:
1. A※B = (A∪B)∩B = B 입니다. (흡수법칙)
2. B※A = (B∪A)∩A = A 입니다.
3. 따라서, (A※B) – (B※A) = B – A 입니다.
4. B-A는 B에만 속하고 A에는 속하지 않는 영역입니다. 이 영역이 색칠된 그림을 찾습니다.
주의할 점:
새로운 연산의 정의를 먼저 간단히 할 수 있는지 확인해야 합니다. 이 문제에서는 흡수법칙에 의해 연산이 매우 단순해집니다.
”
차집합과 결합된 복잡한 연산의 동치 관계
