“
배수 집합의 차집합의 원소 개수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (A₂∪A₃) – A₆ = (A₂∪A₃) ∩ A₆ᶜ 입니다. 이는 복잡합니다.
2. n(A-B) = n(A) – n(A∩B) 공식을 활용합니다.
– n( (A₂∪A₃) – A₆ ) = n(A₂∪A₃) – n( (A₂∪A₃)∩A₆ )
3. (A₂∪A₃)∩A₆ = (A₂∩A₆) ∪ (A₃∩A₆) = A₆ ∪ A₆ = A₆ 입니다.
4. 따라서 구하는 개수는 **n(A₂∪A₃) – n(A₆)** 입니다.
5. 848번, 849번과 같이 포함-배제 원리를 이용해 n(A₂∪A₃)를 구하고, n(A₆)를 빼줍니다.
주의할 점:
차집합의 원소 개수 공식을 정확히 적용하고, 괄호 안의 복잡한 교집합 연산을 분배법칙을 이용해 간단히 만드는 과정이 필요합니다.
”
배수 집합의 차집합 원소 개수 계산하기 (A-B = A – A∩B)
“
848번과 동일하게, 배수 집합의 합집합의 원소 개수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. A₂∪A₅는 ‘2의 배수 또는 5의 배수’의 집합입니다.
2. n(A₂∪A₅) = n(A₂) + n(A₅) – n(A₂∩A₅) 공식을 이용합니다.
3. A₂∩A₅ = A₁₀ (2와 5의 최소공배수는 10) 입니다.
4. 200 이하의 2의 배수, 5의 배수, 10의 배수의 개수를 각각 세어 공식에 대입합니다.
주의할 점:
배수의 개수를 셀 때는 주어진 범위를 그 수로 나눈 몫을 취하면 됩니다. (예: 200 이하 2의 배수 = 200/2 = 100개)
”
두 배수 집합의 합집합 원소 개수 구하기
“
배수 집합의 원소 개수를 세는 문제입니다. 포함-배제 원리를 사용합니다.
접근법:
1. n(A₂∪A₃) = n(A₂) + n(A₃) – n(A₂∩A₃) 공식을 이용합니다.
2. n(A₂): 100 이하의 2의 배수의 개수
3. n(A₃): 100 이하의 3의 배수의 개수
4. n(A₂∩A₃): A₂∩A₃ = A₆ 이므로, 100 이하의 6의 배수의 개수
5. 각 값을 구해 공식에 대입하여 계산합니다.
주의할 점:
합집합의 원소 개수를 구할 때는 교집합의 원소 개수를 한 번 빼주어야 한다는 포함-배제 원리를 잊지 말아야 합니다.
”
배수 집합의 합집합 원소 개수 세기 (포함배제 원리)
“
약수 집합의 대칭차집합의 원소 개수를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. n(A△B) = n(A∪B) – n(A∩B) = n(A) + n(B) – 2n(A∩B) 공식을 이용합니다.
2. n(A): 12의 약수의 개수를 구합니다.
3. n(B): 16의 약수의 개수를 구합니다.
4. n(A∩B): 12와 16의 공약수, 즉 최대공약수 4의 약수의 개수를 구합니다.
5. 공식에 값을 대입하여 계산합니다.
주의할 점:
약수의 개수는 소인수분해를 이용하면 쉽게 구할 수 있습니다. 대칭차집합의 원소 개수 공식을 정확히 암기하고 있어야 합니다.
”
약수 집합의 대칭차집합 원소 개수 구하기
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배수 집합의 합집합과 분배법칙을 이용하는 문제입니다. 845번과 유사합니다.
접근법:
1. (A₂∪A₄) ∩ (A₃∪A₆) 을 계산합니다.
2. A₄ ⊂ A₂ 이므로, A₂∪A₄ = A₂ 입니다.
3. A₆ ⊂ A₃ 이므로, A₃∪A₆ = A₃ 입니다.
4. 따라서 주어진 식은 A₂ ∩ A₃ 입니다.
5. 2와 3의 공배수는 6의 배수이므로, A₂∩A₃ = A₆ 입니다.
6. A₆의 원소 중 100 이하의 자연수의 개수를 셉니다. (100 ÷ 6)
주의할 점:
두 집합의 포함 관계를 이용하면 복잡한 분배법칙 없이도 식을 간단하게 만들 수 있습니다.
”
배수 집합의 합집합과 교집합 포함 관계 이해하기
“
배수 집합의 합집합과 분배법칙을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 식 (A₄∪A₆) ∩ (A₃∪A₁₂)를 분배법칙을 이용해 전개할 수 있으나, 더 복잡해집니다.
2. 각 괄호 안의 포함 관계를 먼저 확인합니다.
– A₆ ⊂ A₃ 이므로, A₃∪A₆ = A₃ 입니다.
– A₁₂ ⊂ A₄ 이므로, A₄∪A₁₂ = A₄ 입니다.
3. 따라서 주어진 식은 A₄ ∩ A₃ 로 간단해집니다.
4. 4와 3의 공배수는 12의 배수와 같으므로, A₄∩A₃ = A₁₂ 입니다. n=12.
주의할 점:
합집합을 계산하기 전에, 두 배수 집합 사이에 포함 관계가 성립하는지(한 수가 다른 수의 약수인지) 먼저 확인하면 식을 간단히 할 수 있습니다.
”
원소가 미지수로 이루어진 집합과 두 집합의 원소 일부 또는 전체를 포함하는 집합
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배수 집합과 약수 집합의 성질을 종합적으로 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. (가) 조건: Aₙ은 n의 배수 집합입니다. A₂∩A₃는 2와 3의 공배수, 즉 6의 배수 집합(A₆)입니다. 따라서 A₆ ⊂ Aₖ 이려면, k는 6의 약수여야 합니다.
2. (나) 조건: Bₙ은 n의 약수 집합입니다. B₁₂∩B₁₈은 12와 18의 공약수, 즉 최대공약수 6의 약수 집합(B₆)입니다. B₆ ∪ Bₖ = B₆ 이려면, Bₖ ⊂ B₆ 이어야 합니다. 이는 k가 6의 약수임을 의미합니다.
3. 두 조건을 모두 만족하는 k는 6의 약수입니다.
주의할 점:
배수 집합에서는 숫자가 작을수록 큰 집합이고(A₂⊃A₄), 약수 집합에서는 숫자가 클수록 큰 집합(B₄⊂B₈)이 되는 경향이 있음을 유의해야 합니다.
”
전체집합과 두집합의 원소중 전체 또는 일부를 포함하는 집합
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약수 집합의 교집합과 합집합의 성질을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. **(교집합)** Aₘ ∩ Aₙ = Aₖ 는, m의 약수이면서 동시에 n의 약수인 집합, 즉 **m과 n의 공약수**의 집합입니다. k는 m과 n의 **최대공약수**입니다.
2. **(합집합)** Aₘ ∪ Aₙ ⊂ Aₖ 는, m의 약수 또는 n의 약수의 집합이 k의 약수 집합에 포함된다는 의미입니다. 이는 k가 **m과 n의 공배수**일 때 성립합니다.
3. 이 성질들을 이용해 주어진 식을 해석하고, 조건을 만족하는 m의 개수를 셉니다.
주의할 점:
약수 집합은 배수 집합과 교집합, 합집합의 성질이 반대입니다. (교집합↔최대공약수, 합집합↔최소공배수)
”
집합과 각각의 두 집합의 포함관계 합집합 교집합
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배수 집합의 교집합과 합집합의 성질을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. **(교집합)** Aₘ ∩ Aₙ = Aₖ 는, m의 배수이면서 동시에 n의 배수인 집합, 즉 **m과 n의 공배수**의 집합입니다. k는 m과 n의 **최소공배수**입니다.
2. **(합집합)** Aₘ ∪ Aₙ ⊂ Aₖ 는, m의 배수 또는 n의 배수인 집합이 k의 배수 집합에 포함된다는 의미입니다. 이는 k가 **m과 n의 공약수**일 때 성립합니다.
3. 이 성질들을 이용해 각 보기의 참/거짓을 판별합니다.
주의할 점:
배수 집합의 교집합은 최소공배수의 배수 집합, 합집합은 공약수의 배수 집합에 포함된다는 규칙을 명확히 구분해야 합니다.
”
부분집합의 포함관계 교집합 합집합
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주어진 집합 연산이 서로소 관계(A∩B=∅)를 의미함을 파악하고, 이와 동치인 표현을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. (A∪B) – (A-B) = B 라는 식을 간단히 합니다.
– (A∪B) ∩ (A∩Bᶜ)ᶜ = B
– (A∪B) ∩ (Aᶜ∪B) = B
– (A∩Aᶜ) ∪ B = B, 즉 ∅∪B = B. 이는 항등식입니다.
2. (문제 오류 가능성 있음 – 해설에서는 A∩B=∅를 유도함)
3. 해설 기준: 주어진 식을 변형하여 A∩B=∅를 이끌어내고, A와 B가 서로소일 때 항상 성립하는 보기를 찾습니다.
주의할 점:
주어진 식이 복잡할수록, 연산 법칙을 이용해 간단히 하거나 벤 다이어그램을 그려서 그 의미를 먼저 파악해야 합니다.
”
약수 집합의 교집합과 합집합의 성질
