평행사변형의 성질 — 두 대각선의 중점이 일치한다

📐 핵심 성질

평행사변형 ABCD에서 두 대각선 AC와 BD의 중점은 서로 일치한다.
즉, 평행사변형의 두 대각선은 서로를 이등분한다.

네 꼭짓점이 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃), D(x₄, y₄)일 때

( (x₁+x₃)/2 , (y₁+y₃)/2 ) = ( (x₂+x₄)/2 , (y₂+y₄)/2 )

⇒ x₁ + x₃ = x₂ + x₄ , y₁ + y₃ = y₂ + y₄

※ 마주보는 꼭짓점(A↔C, B↔D)의 좌표의 합이 서로 같다는 뜻입니다.

왜 성립할까? — 성질 유도

평행사변형의 두 대각선이 서로를 이등분한다는 사실에서 출발합니다.

두 대각선 AC와 BD의 교점을 M이라 하자. 평행사변형에서 두 대각선은 서로를 이등분하므로, M은 AC의 중점인 동시에 BD의 중점이다.
(대변이 평행하고 길이가 같아 △ABM ≡ △CDM 이 되는 데서 옵니다.)
한 점 M이 AC의 중점이자 BD의 중점이므로 “AC의 중점 = BD의 중점” 이 성립한다.
중점 좌표 공식으로 두 중점을 나타내면
( (x₁+x₃)/2 , (y₁+y₃)/2 ) = ( (x₂+x₄)/2 , (y₂+y₄)/2 )
양변의 분모 2를 없애면 x₁+x₃ = x₂+x₄ , y₁+y₃ = y₂+y₄ 를 얻는다.

예제 1.

평행사변형 ABCD의 네 꼭짓점이 A(5, a), B(b, 3), C(1, 5), D(1, 2)일 때, a + b의 값을 구하여라.

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평행사변형 ABCD의 대각선은 AC, BD. 두 대각선의 중점이 일치하므로

• 대각선 AC의 중점: ( (5+1)/2 , (a+5)/2 ) = ( 3 , (a+5)/2 )

• 대각선 BD의 중점: ( (b+1)/2 , (3+2)/2 ) = ( (b+1)/2 , 5/2 )

x좌표 비교: 3 = (b+1)/2 ⇒ b + 1 = 6 ⇒ b = 5

y좌표 비교: (a+5)/2 = 5/2 ⇒ a + 5 = 5 ⇒ a = 0

∴ a + b = 0 + 5 = 5

예제 2.

평행사변형 ABCD에서 세 꼭짓점이 A(1, 2), B(4, 3), C(6, 7)일 때, 나머지 꼭짓점 D의 좌표를 구하여라.

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D(x, y)라 하자. 대각선 AC와 BD의 중점이 일치하므로

• AC의 중점: ( (1+6)/2 , (2+7)/2 ) = ( 7/2 , 9/2 )

• BD의 중점: ( (4+x)/2 , (3+y)/2 )

x좌표: (4+x)/2 = 7/2 ⇒ 4 + x = 7 ⇒ x = 3

y좌표: (3+y)/2 = 9/2 ⇒ 3 + y = 9 ⇒ y = 6

∴ D(3, 6)

⚠ 자주 나오는 실수

꼭짓점 순서를 보고 대각선을 정하세요. 평행사변형 ABCD에서 대각선은 AC와 BD(마주보는 꼭짓점끼리)입니다.

AB·BC·CD·DA는 변이지 대각선이 아닙니다. “AB의 중점 = CD의 중점”처럼 변끼리 묶어 식을 세우면 틀립니다.

이 개념, 직접 풀어볼까요?

대각선 중점·평행사변형·마름모 계산을 반복 훈련으로 손에 익혀 보세요.