📌 핵심 성질 — 평행사변형의 두 대각선은 서로를 이등분한다
평행사변형 ABCD에서 두 대각선은 AC와 BD이고, 이 둘은 서로를 이등분하므로 중점이 일치합니다.
(대각선 AC의 중점) = (대각선 BD의 중점)
중점 공식을 적용해 정리하면, 좌표 계산은 결국 다음 한 줄로 끝납니다.
xA + xC = xB + xD, yA + yC = yB + yD
⚡ 한 줄 요약 마주 보는 꼭짓점끼리 더한 값이 같다 → A + C = B + D.
네 번째 꼭짓점을 구할 땐 D = A + C − B 처럼 이항만 하면 됩니다.
꼭짓점 순서 확인(ABCD → 대각선은 AC·BD) → A + C = B + D 세우기 → x·y 따로 계산의 흐름을 손에 익혀 보세요. 아래 5문제를 직접 풀고, 풀이 토글을 펼쳐 과정을 확인하세요.
기본형 — 세 꼭짓점으로 나머지 꼭짓점 구하기
기본 1.
평행사변형 ABCD의 세 꼭짓점이 A(1, 2), B(4, 3), C(7, 6)일 때, 꼭짓점 D의 좌표를 구하시오.
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평행사변형 ABCD의 대각선은 AC와 BD이고, 두 대각선의 중점이 같으므로 A + C = B + D.
D(x, y)라 하면
x좌표: 1 + 7 = 4 + x → x = 4
y좌표: 2 + 6 = 3 + y → y = 5
∴ D(4, 5)
기본 2.
평행사변형 ABCD에서 A(−2, 1), B(3, −1), D(0, 4)일 때, 꼭짓점 C의 좌표를 구하시오.
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A + C = B + D 에서 C = B + D − A.
x좌표: 3 + 0 − (−2) = 5
y좌표: −1 + 4 − 1 = 2
∴ C(5, 2)
기본 3.
평행사변형 ABCD에서 A(0, 0), B(1, 3), C(6, 4)일 때, 꼭짓점 D의 좌표를 구하시오.
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D = A + C − B.
x좌표: 0 + 6 − 1 = 5
y좌표: 0 + 4 − 3 = 1
∴ D(5, 1)
응용형 — 미지수가 섞인 좌표에서 값 구하기
응용 1.
평행사변형 ABCD의 네 꼭짓점이 A(5, a), B(b, 3), C(1, 5), D(1, 2)일 때, a + b의 값을 구하시오.
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대각선 AC와 BD의 중점이 일치하므로 A + C = B + D.
x좌표: 5 + 1 = b + 1 → b = 5
y좌표: a + 5 = 3 + 2 → a = 0
∴ a + b = 0 + 5 = 5
응용 2.
평행사변형 ABCD에서 A(−2, 1), B(2, −3), D(4, 5)일 때, 꼭짓점 C의 좌표와 두 대각선의 교점의 좌표를 각각 구하시오.
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① 꼭짓점 C A + C = B + D 에서 C = B + D − A.
x좌표: 2 + 4 − (−2) = 8, y좌표: −3 + 5 − 1 = 1 → C(8, 1)
② 두 대각선의 교점 평행사변형에서 두 대각선의 교점은 곧 각 대각선의 중점이다. 대각선 AC의 중점으로 구하면
( (−2 + 8) / 2, (1 + 1) / 2 ) = (3, 1)
※ 대각선 BD의 중점 ( (2 + 4)/2, (−3 + 5)/2 ) = (3, 1) 로도 같음이 확인된다.
∴ C(8, 1), 두 대각선의 교점 (3, 1)
⚠ 자주 나오는 실수
① 대각선을 잘못 잡는다. 꼭짓점이 ABCD 순서로 주어지면 대각선은 마주 보는 AC와 BD입니다. 이웃한 변 AB·BC가 아니므로 A + B = C + D 로 세우면 틀립니다. → 올바른 식은 A + C = B + D.
② x좌표와 y좌표를 섞는다. 중점 일치 조건은 x는 x끼리, y는 y끼리 따로 세워야 합니다.
③ 마름모·정사각형도 평행사변형이다. 대각선이 서로를 이등분하는 성질은 그대로 성립하므로, 마름모 문제에서도 먼저 이 조건으로 좌표를 잡을 수 있습니다. (변의 길이가 같다는 조건은 그다음 단계)