📌 핵심 — 마름모는 네 변의 길이가 모두 같다
마름모 ABCD는 네 변이 모두 같은 평행사변형이다. 그래서 두 가지 성질을 함께 쓴다.
- ① 네 변이 같다 → 이웃한 두 변으로 AB = BC (또는 AB = AD). 양변을 제곱해 AB² = BC²로 푼다.
- ② 평행사변형이다 → 두 대각선의 중점이 일치한다. AC의 중점 = BD의 중점
⚡ 미지수가 2개면 조건도 2개.
먼저 대각선 중점 일치(①)로 미지수 사이의 관계식을 만들고, 그다음 한 변 = 다른 변(②)으로 이차방정식을 세워 푼다.
아래 문제로 변의 길이 제곱 → 같다고 놓기 → 이차방정식 풀기의 흐름을 손에 익혀 보세요. 근호는 그대로 두지 말고 항상 양변을 제곱하는 것이 핵심입니다.
기본형 — 거리² = 거리² 로 이차방정식 세우기
기본 1. 두 점 A(1, 2), B(a, −1) 사이의 거리가 5일 때, 모든 실수 a의 값의 합을 구하여라.
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거리 조건을 제곱한다.
AB² = (a − 1)² + (−1 − 2)² = (a − 1)² + 9 = 5² = 25
(a − 1)² = 16 ⟹ a − 1 = ±4 ⟹ a = 5 또는 a = −3
∴ 모든 실수 a의 합 = 5 + (−3) = 2
기본 2. 두 점 A(−2, 3), B(2, b) 사이의 거리가 4√2일 때, 모든 실수 b의 값의 곱을 구하여라.
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AB² = (2 + 2)² + (b − 3)² = 16 + (b − 3)² = (4√2)² = 32
(b − 3)² = 16 ⟹ b − 3 = ±4 ⟹ b = 7 또는 b = −1
∴ 모든 실수 b의 곱 = 7 × (−1) = −7
기본 3. 마름모의 한 변 AB에 대하여 A(3, 1), B(b, 5)이다. 이 마름모의 한 변의 길이가 2√5일 때, 모든 상수 b의 값의 합을 구하여라.
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마름모의 한 변의 길이가 2√5이므로 AB = 2√5. 양변을 제곱한다.
AB² = (b − 3)² + (5 − 1)² = (b − 3)² + 16 = (2√5)² = 20
(b − 3)² = 4 ⟹ b − 3 = ±2 ⟹ b = 5 또는 b = 1
∴ 모든 상수 b의 합 = 5 + 1 = 6
응용형 — 대각선 중점 일치 + 네 변 같음 함께 쓰기
응용 1. 마름모 ABCD에서 A(−2, 3), B(a, −1), C(b, −3), D(2, 1)이다. a < 0일 때, a + b의 값을 구하여라.
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① 평행사변형 조건 — 두 대각선 AC, BD의 중점이 일치한다.
AC의 중점 = ( (−2 + b)/2 , (3 − 3)/2 ) = ( (b − 2)/2 , 0 )
BD의 중점 = ( (a + 2)/2 , (−1 + 1)/2 ) = ( (a + 2)/2 , 0 )
x좌표를 비교하면 b − 2 = a + 2 ⟹ b = a + 4
② 네 변 같음 — 이웃한 두 변 AB = AD. 양변 제곱.
AD² = (2 + 2)² + (1 − 3)² = 16 + 4 = 20
AB² = (a + 2)² + (−1 − 3)² = (a + 2)² + 16
AB² = AD² ⟹ (a + 2)² + 16 = 20 ⟹ (a + 2)² = 4 ⟹ a = 0 또는 a = −4
조건 a < 0 에서 a = −4, b = a + 4 = 0
∴ a + b = −4 + 0 = −4
응용 2. 마름모 ABCD에서 A(2, 1), B(6, 4)이고 꼭짓점 C가 x축 위에 있다. 가능한 점 C의 x좌표를 모두 구하고, 그 합을 구하여라.
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먼저 한 변 AB의 길이를 구한다(제곱으로).
AB² = (6 − 2)² + (4 − 1)² = 16 + 9 = 25 ⟹ AB = 5
마름모이므로 이웃한 변 BC도 5. C가 x축 위에 있으므로 C(t, 0)로 놓고 BC² = AB².
BC² = (t − 6)² + (0 − 4)² = (t − 6)² + 16 = 25
(t − 6)² = 9 ⟹ t − 6 = ±3 ⟹ t = 9 또는 t = 3
두 경우 모두 D = A + C − B로 평행사변형이 완성되어 마름모가 된다.
∴ 점 C의 x좌표는 3, 9 → 합 = 3 + 9 = 12
⚠ 자주 나오는 실수
- 마주 보는 변끼리 같다고 놓기. AB = CD는 평행사변형이면 자동으로 성립해 정보가 없다. 반드시 이웃한 변(AB = BC, AB = AD)으로 식을 세운다.
- 조건 하나만 쓰고 끝내기. 미지수가 2개면 대각선 중점 일치 + 한 변 = 다른 변 두 식이 모두 필요하다.
- 제곱 전개 오류. (a − 2)² = a² − 2 가 아니라 a² − 4a + 4. 근호는 양변 제곱으로 먼저 없앤다.
- 두 근을 모두 답으로 쓰기. a < 0, 제1사분면 등 주어진 조건으로 걸러야 할 근이 있는지 끝까지 확인한다.
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계산이 막혔다면 공식의 원리부터 다시 잡아 보세요.
▸ 마름모의 성질 — 네 변이 같고 두 대각선이 수직이등분