개념 263: 로그 함수의 최대·최소
정의역이 \( \{ x \mid m \leq x \leq n \} \) 일 때, 로그 함수 \( f(x) = \log_a x \) ( \( a > 0, a \neq 1 \) )는 다음과 같은 특징을 가집니다.
- \( a > 1 \) 이면 \( x = m \) 일 때 최소값 \( f(m) \), \( x = n \) 일 때 최대값 \( f(n) \) 을 갖습니다.
- \( 0 < a < 1 \) 이면 \( x = m \) 일 때 최대값 \( f(m) \), \( x = n \) 일 때 최소값 \( f(n) \) 을 갖습니다.
개념 살펴보기
로그 함수 \( f(x) = \log_a x \) ( \( a > 0, a \neq 1 \) )의 그래프는 밑 \( a \) 의 값에 따라 다음과 같이 나뉩니다.
- \( a > 1 \) 인 경우: \( y = f(x) \) 는 증가함수이므로 최소값은 \( f(m) \), 최대값은 \( f(n) \) 입니다.
- \( 0 < a < 1 \) 인 경우: \( y = f(x) \) 는 감소함수이므로 최소값은 \( f(n) \), 최대값은 \( f(m) \) 입니다.
개념 확인 문제
주어진 범위에서 다음 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.
- \( y = \log_2 (x+2) \), \( 0 \leq x \leq 6 \)
- \( y = \log_{1/3} (2x – 1) \), \( \frac{5}{9} \leq x \leq 1 \)
풀이
(1) 함수 \( y = \log_2 (x+2) \) 에서 밑이 \( 2 \) 이고 \( 2 > 1 \) 이므로 증가 함수입니다.
따라서 \( 0 \leq x \leq 6 \) 범위에서 함수 \( y = \log_2 (x+2) \) 는
- \( x = 6 \) 일 때 최댓값: \( \log_2 (6+2) = \log_2 8 = 3 \)
- \( x = 0 \) 일 때 최솟값: \( \log_2 (0+2) = \log_2 2 = 1 \)
(2) 함수 \( y = \log_{1/3} (2x – 1) \) 에서 밑이 \( \frac{1}{3} \) 이고 \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \) 이므로 감소 함수입니다.
따라서 \( \frac{5}{9} \leq x \leq 1 \) 범위에서 함수 \( y = \log_{1/3} (2x – 1) \) 는
- \( x = \frac{5}{9} \) 일 때 최댓값: \( \log_{1/3} \left( 2 \times \frac{5}{9} – 1 \right) = \log_{1/3} \frac{1}{3} = 2 \)
- \( x = 1 \) 일 때 최솟값: \( \log_{1/3} (2 \times 1 – 1) = \log_{1/3} 1 = 0 \)
정답
- (1) 최댓값: 3, 최솟값: 1
- (2) 최댓값: 2, 최솟값: 0