고등수학개념사전 141선분의 길이와 합의 최솟값

선분의 길이의 최솟값 알아보기

개념 141 – 선분의 길이의 최솟값

두 점 $A, B$ 가 직선 $l$ 에 대해 같은 쪽에 있고, 점 $P$ 가 직선 $l$ 위를 움직일 때, $A P + B P$ 의 길이의 합의 최솟값을 구하는 방법을 배워볼까요?

점 $B$ 를 직선 $l$ 에 대해 대칭이동한 점을 $B^{'} (x^{'}, y^{'})$ 라 하면, 삼각형의 성질에 의해

A P + B P \geq A B^{'}

즉, 길이 합의 최솟값은 선분 $A B^{'}$ 의 길이와 같아요.

반대로 점 $A$ 를 대칭이동한 점 $A^{'}$ 을 사용할 수도 있답니다.

A P + B P \geq A^{'} B

점 $A (- 1, 3)$ , $B (2, 0)$ 와 직선 $y$ 축 위의 점 $P$ 를 지날 때, $A P + B P$ 길이 합의 최솟값을 구해볼까요?

점 $B$ 를 $y$ 축에 대해 대칭이동한 점 $B^{'} (- 2, 0)$ 이라 하면,

구하고자 하는 최솟값은 선분 $A B^{'}$ 의 길이와 같아요.

A B^{'} = \sqrt{(- 1 + 2)^{2} + (3 - 0)^{2}} = \sqrt{10}

따라서 선분의 길이 합의 최솟값은 $\sqrt{10}$ 이에요.

선분의 최솟값 문제는 이렇게 대칭이동을 이용하면 아주 간단해져요. 꼭 기억해두세요!