개념 109: 한 점과 기울기가 주어진 직선의 방정식

직선이 지나가는 한 점의 좌표와 기울기가 주어졌을 때, 직선의 방정식은 다음과 같아요!

점 \((x_1, y_1)\)을 지나고 기울기가 \(m\)인 직선의 방정식:

\[ y – y_1 = m(x – x_1) \]

개념 살펴보기

좌표평면에서 점 \(A(x_1, y_1)\)을 지나고 기울기가 \(m\)인 직선 \(L\)의 방정식을 구하는 방법은 두 가지가 있어요.

방법 1

기울기가 \(m\)인 직선의 일반형 방정식은 다음과 같아요.

\[ y = mx + n \]

이 직선이 점 \((x_1, y_1)\)을 지나므로,

\[ y_1 = m x_1 + n \]

위 두 식을 이용하여 \(n\)을 구하면 최종 방정식이 나옵니다.

\[ y – y_1 = m(x – x_1) \]

방법 2

임의의 점 \(P(x, y)\)이 직선 \(L\) 위에 있을 때, 점 \(A(x_1, y_1)\)을 지나므로 기울기 \(m\)은

\[ m = \frac{y – y_1}{x – x_1} \]

이 식의 양변에 \((x – x_1)\)을 곱해 정리하면 동일한 결과가 나옵니다.

\[ y – y_1 = m(x – x_1) \]

이 식은 점 \(P\)와 \(A\)가 일치할 때도 성립해요!

특별한 경우

점 \((x_1, y_1)\)을 지나고 \(x\)-축과 평행한 직선의 기울기는 0이에요. 따라서 이 직선의 방정식은

\[ y – y_1 = 0 \cdot (x – x_1), \] 즉 \( y = y_1 \) 입니다.

개념 확인 문제

다음 직선의 방정식을 구해 보세요!

1. 기울기가 \(4\)이고 점 \((0,2)\)을 지나는 직선
2. 기울기가 \(-2\)이고 점 \((5, -3)\)을 지나는 직선

풀이

(1) \( y – 2 = 4(x – 0) \) 이므로,

\[ y = 4x + 2 \]

(2) \( y + 3 = -2(x – 5) \) 이므로,

\[ y = -2x + 10 – 3 \]

\[ y = -2x + 7 \]

정답: (1) \( y = 4x + 2 \), (2) \( y = -2x + 7 \)